新課程高中數學轉化與化歸思想的教學策略

王輝林

數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學知識的精髓，是將知識轉化為能力的橋梁，是歷年高考的重點.其中轉化與化歸的思想方法是數學中最基本的思想方法，數學中一切問題的解決離不開轉化與化歸.數形結合思想體現了數與形的相互轉化，函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化，分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，以上方法都是轉化與化歸思想的具體體現.

轉化與化歸就是：將不熟悉和難解的問題轉化為熟知的易解的或已經解決的問題，將抽象的問題轉化為具體的直觀的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題；將一般性的問題轉化為直觀的特殊的問題，將實際問題轉化為數學問題，使問題便于解決.下面以具體的例子談談怎樣在教學中培養高中學生的轉化與化歸思想：

一、正與反、一般與特殊的轉化

當面臨的數學問題從正面入手求解難度較大時，可以考慮從反面入手解決；一般性難以解決的問題，可以考慮從特殊性來解決.

例1 試求常數m的范圍，使曲線y=x2的所有弦都不能被直線y=m（x-3）垂直平分.

分析 “不能”的反面是“能”，被直線垂直平分的弦的兩端點關于此直線對稱，問題轉化為“拋物線y=x2上存在兩點關于直線y=m（x-3）對稱，求m的取值范圍”，再求出m的取值集合的補集即為原問題的解.

三、數與形的轉化

通過數與形的轉化，可以利用對數量關系的討論來研究圖形的性質，也可以利用幾何圖形直觀地反映函數或方程中的變量之間的關系，有時還能由幾何圖形提示解決問題的途徑.

例3 當a為何值時，方程lg2xlg（x+a）=2有唯一解？兩解？無解？

分析 將原方程等價轉化，化為2x=x+ax>0且x≠12，

在同一坐標系內作出y=2xx>0，x≠12及y=x+a的圖像，

則方程解的個數等于直線y=x+a與拋物線弧y=2xx>0，x≠12交點的個數，且求得當a=12時，直線y=x+a與拋物線弧y=2xx>0，x≠12切于點12，1，由圖可知，原方程：當a≥12時，無解；當a≤0時，有唯一解；當0

此題將原參數方程轉化后，借助數形結合方法解決問題，解題方法簡潔.

四、數學各分支之間的轉化

數學各分支之間的轉化是一種重要的解題策略，應用十分廣泛，例如用復數方法解代數、三角、解析幾何問題，利用向量方法解立體幾何問題，用解析幾何方法處理平面幾何、代數、三角問題，立體幾何中位置關系的論證、角和距離的計算都需要轉化為平面問題來處理，運用這些策略，往往能提高創新思維能力.

總之，轉化與化歸思想方法是高中數學中常用的解題方法，它包括正與反的轉化、一般與特殊的轉化、常量與變量的轉化、數與形的轉化、數學各分支之間的轉化.這些轉化實質就是化繁為簡、化生為熟.我們在教學中必須經常提醒學生怎樣轉化，為學生解決難題掃除障礙，從而達到化難為易和快速、簡捷、準確的解題效果.