蘇教版職高數(shù)學(xué)平面向量教學(xué)探究

張紹宏

平面向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中應(yīng)用很廣，在解析幾何里的應(yīng)用更為直接，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具.在教學(xué)中要求學(xué)生了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量的運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算的意義，能用向量語(yǔ)言和方法表述解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問(wèn)題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

這一章的內(nèi)容概念較多，而且比較抽象，但大都有物理上的背景來(lái)源，又與圖形有密切的聯(lián)系，因而其優(yōu)越性相當(dāng)明顯，恰當(dāng)?shù)慕膛c學(xué)，不僅不索然無(wú)味，反而生動(dòng)有趣，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的極佳機(jī)會(huì).

一、平面向量的概念

本節(jié)從向量的實(shí)際背景——力、位移等矢量引出平面向量的概念，引發(fā)學(xué)生思考數(shù)量與向量這兩個(gè)概念的區(qū)別，確定了平面向量的兩個(gè)要素（大小和方向），研究了平面向量相等、相反、平行等關(guān)系.在本節(jié)教學(xué)中，弱化了自由向量的概念，讓學(xué)生通過(guò)探究、觀察、類比、實(shí)踐等方式，讓學(xué)生感受向量在保持大小和方向均不變的情況下可以自由移動(dòng)這一事實(shí).例如，如圖，在4×5方格紙中有一個(gè)向量AB，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與AB相等的向量有多少個(gè)？與AB長(zhǎng)度相等且共線的向量有多少個(gè)？（AB除外）

在教學(xué)過(guò)程中要注重學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)，通過(guò)“練”的方式鞏固對(duì)概念的理解.例如，在談到天津相對(duì)于北京的位置時(shí)，我們說(shuō)，“天津位于北京東偏南50度，114 km”，如圖所示，點(diǎn)A表示北京的位置，點(diǎn)B表示天津的位置，那么向量AB=“東偏南50度，114 km”就是天津相對(duì)于北京的位置.

通過(guò)探究、發(fā)現(xiàn)、歸納、類比等方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量在現(xiàn)實(shí)生活中的意義和作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣與熱情，為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

二、平面向量的加法、減法和數(shù)乘向量

通過(guò)實(shí)例引入，讓學(xué)生結(jié)合對(duì)平面向量概念的理解感受不同方式的位移對(duì)結(jié)果的影響，初步體會(huì)向量相加的概念，引發(fā)思考，引出新知.例如，2008年，上海浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)和臺(tái)北桃園國(guó)際機(jī)場(chǎng)首次開(kāi)通了上海至臺(tái)北的直航，既縮短了距離，又節(jié)約了時(shí)間.民航客機(jī)的每次飛行都可以看成是一次位移.直航前由上海（點(diǎn)A）到臺(tái)北（點(diǎn)C），需先經(jīng)香港（點(diǎn)B），再到臺(tái)北，位移是由A到B，再由B到C；直航后由上海直接到臺(tái)北，位移是A到C.（1）用圖形表示每一次向量的位移.（2）飛機(jī)由上海飛往香港，再由香港飛至臺(tái)北位移的結(jié)果，與飛機(jī)直接由上海飛至臺(tái)北的位移結(jié)果相同嗎？得出結(jié)論AB+BC=AC.

比較平面向量的加法與減法運(yùn)算法則，在對(duì)實(shí)際背景思考的基礎(chǔ)上引出和向量的三角形法則、平行四邊形法則，學(xué)生從實(shí)踐、思考中發(fā)現(xiàn)兩種法則之間的區(qū)別與聯(lián)系，比較得出用代數(shù)求兩個(gè)向量的和向量的特點(diǎn).通過(guò)類比、實(shí)踐感受用代數(shù)式和三角形法則求兩個(gè)向量的差向量，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法.在學(xué)習(xí)向量數(shù)乘部分內(nèi)容時(shí)，教材通過(guò)讓學(xué)生思考交流一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生感受平面向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)記向量數(shù)乘運(yùn)算的概念，會(huì)用代數(shù)式表示向量的數(shù)乘運(yùn)算.

三、平面向量的坐標(biāo)表示

通過(guò)類比平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)表示引發(fā)學(xué)生對(duì)直角坐標(biāo)系內(nèi)平面向量坐標(biāo)表示的思考，通過(guò)實(shí)例感受平面向量的直角坐標(biāo)的含義，會(huì)在直角坐標(biāo)系中用直角坐標(biāo)表示平面向量.

例1 寫(xiě)出下列向量的坐標(biāo)表示：（1）a=5i-3j；（2）b=-5i；（3）c=πj.通過(guò)本題，鞏固定義，會(huì)求所給向量的直角坐標(biāo)，會(huì)通過(guò)平面向量的直角坐標(biāo)求模.

例2 如圖，寫(xiě)出向量a，b，c，d，e的坐標(biāo)，并求它們的模.

通過(guò)例2提升學(xué)生的讀圖能力、數(shù)形結(jié)合能力，進(jìn)一步體會(huì)向量相等的實(shí)質(zhì)，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手作圖的實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生思考平面向量直角坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題.能根據(jù)所給向量的直角坐標(biāo)進(jìn)行加、減、數(shù)乘運(yùn)算.識(shí)記已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求向量直角坐標(biāo)的方法，識(shí)記坐標(biāo)表示的向量之間相等、相反、平行（共線）的條件與判定.發(fā)展學(xué)生的觀察能力、計(jì)算能力、數(shù)據(jù)處理能力及數(shù)形結(jié)合能力等.

四、平面向量的內(nèi)積

通過(guò)學(xué)生對(duì)初中物理中所學(xué)過(guò)的“功”模型的思考，引出平面向量?jī)?nèi)積的概念，運(yùn)用類比的方法幫助學(xué)生記住內(nèi)積公式的形式.能運(yùn)用公式求兩個(gè)向量的內(nèi)積，通過(guò)問(wèn)題的設(shè)定、思考、解答得到運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)求內(nèi)積的公式，識(shí)記平面向量夾角的定義，感受向量夾角的范圍與向量位置之間的關(guān)系.學(xué)會(huì)求坐標(biāo)表示的向量的內(nèi)積，能求給定兩個(gè)向量的模或坐標(biāo)時(shí)的夾角，運(yùn)用坐標(biāo)判定向量是否垂直.初步讓學(xué)生體驗(yàn)類比、化歸的數(shù)學(xué)思想.

五、教學(xué)建議

1.教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)，通過(guò)從學(xué)生所熟悉的情景或背景說(shuō)起，引出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情；通過(guò)讓學(xué)生實(shí)踐、操作等教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，激起學(xué)生學(xué)好平面向量的信心和決心；通過(guò)讓學(xué)生思考、交流等教學(xué)手法的運(yùn)用，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等方面的能力.

2.由于本章各部分內(nèi)容新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)度較大，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)盡可能結(jié)合向量的實(shí)際應(yīng)用提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，在講解過(guò)程中應(yīng)及時(shí)檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，關(guān)注代數(shù)方法與幾何方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)掌握方法、提升能力方面的訓(xùn)練，為其終身學(xué)習(xí)奠定能力基礎(chǔ).

3.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比、歸納、綜合等方法的運(yùn)用，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有條理的思考、判斷、推理和求解，提高學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力、選擇合適的解題模型能力，為其今后更好地學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬復(fù)，王巧林，主編.數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)模塊（下冊(cè)）.南京：江蘇教育出版社，2011.

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