數學史融入數學課堂的教學設計

李珺

【摘要】在HPM研究理論指導下，參照“數學史——探索”教學模式，對圓錐曲線的發展進行教學重組，幫助學生完成知識的自我構建.

【關鍵詞】數學史；圓錐曲線；工作單

HPM研究組織成立三十多年以來，HPM理論及其實踐研究得到了長足的發展.本文參考范廣輝提出的“數學史——探索”教學模式，對圓錐曲線的發展歷史進行教學重組，以工作單的形式引領學生經歷概念形成的幾個關鍵時期，以及數學家探究數學概念的活動，完成數學知識的自我建構.

工作單1 倍立方問題

傳說中，這問題的來源可追溯到公元前429年，一場瘟疫襲擊了希臘第羅斯島（Delos），造成四分之一的人口死亡.島民們推派一些代表去神廟請示阿波羅的旨意，神指示說：要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍.人們便把每邊增長一倍，結果體積當然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的2倍，但形狀卻變為一個長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救于當時著名的學者柏拉圖.開始，柏拉圖和他的學生認為這個問題很容易.他們根據平時的經驗，覺得利用尺規作圖可以輕而易舉地作一個正方形，使它的面積等于已知正方形的2倍，那么作一個正方體，使它的體積等于已知正方體體積的2倍，還會難嗎？結果……

問 題

1.你能利用所學知識求出數學題“體積是棱長a的立方體的2倍的立方體的棱長b”嗎？

讓我們來看一下柏氏門徒當時差點成功的作法：“求體積是棱長a的立方體的2倍的立方體”，這問題可以轉化為“求在a與2a之間插入二數x，y，使a，x，y，2a成等比數列”，即a∶x=x∶y=y∶2a，故x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，從而x3=a（xy）=a（2a2），故x3=2a3，則棱長x的立方體即為所求.

2.從上述方法中可以看出，我們所要求的棱長x是哪兩條曲線的交點橫坐標？

3.我們只要畫出這些曲線就可以找到x的值，嘗試從圖像中找出x.

上述用曲線來求解倍立方問題的方法是希臘數學家門奈赫莫斯開創的圓錐曲線法，這些曲線就是我們現在的拋物線.

工作單2 門奈赫莫斯與圓錐曲線

希臘著名學者門奈赫莫斯（公元前4世紀）企圖解決當時的著名難題“倍立方問題”.他把Rt△ABC的直角A的平分線AO作為軸，旋轉△ABC一周，得到曲面ABECE′，如圖1.用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲線EDE′，梅內克繆斯稱之為“直角圓錐曲線”.他想以此在理論上解決“倍立方問題”未獲成功.而后，便撤開“倍立方問題”，把圓錐曲線作為專有概念進行研究：若以Rt△ABC中的長直角邊AC為軸旋轉△ABC一周，得到曲面CB′BE′，如圖2.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口為一曲線，稱之為“銳角圓錐截線”；若以Rt△ABC中的短直角邊AB為軸旋轉△ABC一周，可得到曲面BC′ECE′，如圖3.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口曲線EDE′稱為“鈍角圓錐截線”.當時，希臘人對平面曲線還缺乏認識，上述三種曲線須以“圓錐曲面”為媒介得到，因此，被稱為圓錐曲線的“雛形”.

我們可以用幾何知識證明曲線的性質：

設直角圓錐的軸三角形VBC是等腰直角三角形，頂角V是直角，過母線VB上一點A用垂直于VB的平面截圓錐面，其交線QAR為直角圓錐截線.過交線QAR上任一點P作平面垂直于軸VO，它與軸截面VBC交于DE，與圓錐交于以DE為直徑的圓DPE，作AF∥DE，FG⊥DE.若記AN=x，NP=y，AG是與點A位置有關的定線段記為b.問題：我們可以得到x，y，b之間怎樣的關系式？

上述的關系式正是解析幾何中拋物線的解析式.類似的方法可以證明銳角圓錐截線就是現在的橢圓，鈍角圓錐曲線是雙曲線.

【參考文獻】

[1]鮑建生，徐斌艷.數學教育研究導引（二）[M].南京：江蘇教育出版社，2013：403-422.

[2]范廣輝.“數學史——探索”教學模式的理論構建及其實施策略研究[J]，2010.

[3]張洪杰.圓錐曲線的產生與發展.http：//www.zxxk.com/Article/161363.html.