高等代數課程中“特征值與特征向量”專題化教學研究與實踐

劉雪梅

【摘要】矩陣的特征值與特征向量是高等代數課程中矩陣理論的重要組成部分.本文主要研究了如何把講解特征值和特征向量這一專題的相關基礎知識與數據圖像壓縮技術這一專題有機地結合起來，使學生對學習數學基礎知識產生濃厚的興趣，并培養學生把理論應用于實踐的能力.

【關鍵詞】高等代數；特征值與特征向量；數據圖像壓縮技術；研究與實踐

【基金項目】中國民航大學教育教學研究課題（CAUCETRN2013-68）

一、引 言

高等代數是數學專業的基礎課，而特征值與特征向量是高等代數課程中非常重要的一部分內容，在現代科技的信號處理、模式識別、數據壓縮技術等各個方面都有廣泛的應用，但特征值與特征向量的相關內容比較抽象，學生學習起來沒有興趣，因此有必要研究一下如何講解才能既提高學生的學習興趣，又能使學生很好地理解這一部分內容.

目前，隨著現代科技的飛速發展，現實生活中有大量的信息是用數據進行存儲、壓縮、處理和傳送，而存儲器容量大小、傳輸帶寬、速度等都有一定的限制，所以數據壓縮技術很重要.數據壓縮技術是信息時代快速發展的核心技術，在圖像文件中的應用也很重要.數據圖像壓縮技術的模型可以通過矩陣的奇異值分解來建立，而這主要依賴于矩陣的特征值和特征向量的相關知識，因此考慮把講解特征值和特征向量的相關知識與數據圖像壓縮技術有機地結合起來，以提高學生的學習興趣，提高學生的學習效果.

本文主要研究在給出數據圖像壓縮技術原理的前提下，如何把特征值與特征向量基礎知識的講解融會在數據圖像壓縮技術模型中.把講解特征值與特征向量這一專題的基礎知識與數據圖像壓縮技術有機地結合起來，在學習基礎知識的同時，掌握它們在圖像壓縮技術中的應用，培養學生把理論知識應用于實踐的能力，確實實現數學基礎知識的實踐化教學.

二、“特征值與特征向量”教學研究與實踐

對于數學專業的學生，在實際教學中往往注重學生理論知識的學習，對所學知識的實際應用介紹得很少或沒有具體的介紹，這樣學生對所學知識只是被動地接受，沒有學習的自主性和積極性.針對這些特點，在講授特征值與特征向量的概念和相關知識時，可以把具體的應用實例引入課堂，讓學生在體會到它們的實際應用的基礎上，帶著問題和興趣去學習.

具體的教學過程我們可以按照如下幾個步驟來進行：

（一）數據圖像壓縮技術模型的引入

在講解特征值與特征向量這一內容之前，給學生提供關于數據圖像壓縮技術的相關資料，讓學生通過自主的閱讀和學習，初步了解數據圖像壓縮技術原理和模型，找出與原理和模型相關的未知的概念和結論.為激起學生的閱讀興趣，教師所提供的資料或文獻應具有吸引力，并且簡單易懂，最好圖文并茂.

（二）數據圖像壓縮技術原理的講解

在課堂上講解數據圖像壓縮技術原理，講解的過程中可適當進行提問，檢驗學生閱讀資料的效果.在此過程中也可允許學生適量地提出一些問題，以便于把握學生對這一原理的理解程度，進一步明確這一原理需要哪些數學知識做準備，特別是有關于特征值與特征向量的概念和定理的一些知識，使學生帶著問題去聽課.

（三）特征值與特征向量相關知識的講解

在前面準備工作做完的基礎上，開始系統講解特征值與特征向量的概念、性質等相關知識，此時，學生的目的比較明確，聽課時積極性很高，與老師的互動進行得很好，改變了以往只是被動在聽的情況，絕大多數同學都能跟上思路，并能主動地分析問題和解決問題，課堂氣氛比較活躍.

（四）作業的布置

通過講解，學生對數據圖像壓縮技術原理和模型中有關特征值與特征向量的相關問題已基本理解和掌握，可以布置每名同學選擇圖像數據，自己建立模型把圖像進行壓縮并通過計算機進行恢復，把所學數學知識應用于實際，使學生體會到數學基礎知識的實際意義.這對今后課程內容的學習有很大的促進作用.

（五）特征值與特征向量在數學中應用的講解

針對高等代數的課程內容設置，講解利用特征值和特征向量在矩陣的對角化、二次型的標準化等問題中的應用，進一步讓學生體會到特征值和特征向量相關內容的重要性.并向學生表明我們所學的每一個數學知識點都有它重要的理論價值和實際意義，激發學生學習的積極性，變被動學習為主動學習，提高學習效果，培養學生分析問題和解決問題的能力.

三、研究與實踐的效果

通過教學實踐，這種教學方式取得了很好的效果，主要體現在以下幾個方面：

（一）學生普遍歡迎這種新的教學方法，學習興趣和積極性比以前大為提高.

（二）學生的上課紀律明顯好轉，自覺性提高，平時不愛學習，成績較差的同學課堂表現也很出色.

（三）這種教學方式促進了老師與學生的互動，學生可以大膽地提問，并能得到及時的解答，學生普遍反映跟得上老師的思路，覺得數學也很有意思.

（四）由于理論與實際應用的結合，使所學知識掌握得更牢固，分析問題和解決問題的能力得到了提高.

（五）學生增強了自主學習的積極性，經常有學生詢問一些關于數學在實際中的應用問題以及教材和課堂以外的一些數學知識，這對于他們參加大學生數學競賽和大學生數學建模競賽并取得好成績有很大的促進作用.

四、結束語

以上是作者通過多年在高等代數課程的教學過程中，不斷摸索和研究得到的一點教學經驗和體會，希望通過本文，可以對高等代數的教學工作起到一定的促進作用.以上觀點和方法僅為一家之說，對高等代數課程教學的探討是無止境的，只有在教學過程中不斷積累經驗，不斷改革教學方法，通過實踐去努力講好每一節課.