淺談高等數(shù)學中幾種求極限的方法

盧鳳萍

【摘要】極限是微積分中的一條主線，是學好微積分的重要前提條件。而此問題一般來說比較困難，要根據(jù)具體情況進行具體分析和處理，方法很多比較凌亂。故本文總結了《高等數(shù)學》中求極限的方法，主要列舉了幾種常用的求極限方法：1.由定義求極限；2.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；3.利用兩邊夾定理求極限；4.利用極限的四則運算法則和簡單技巧求極限；5.利用兩個重要極限求極限；6.利用單調(diào)有界原理求極限；7.利用洛必達法則求極限；8.利用等價無窮小代換求極限；9.利用泰勒展式求極限；10.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限。并通過例題解析了這些方法的使用技巧。

【關鍵詞】高等數(shù)學 極限 求法

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）09-0146-02

極限是微積分的一個重要概念，是貫穿微積分的一條主線，極限的計算又是學好微積分的重要前提條件。正因為數(shù)學之美妙不可言，數(shù)學中解題方法的多樣性更是引人入勝，許多人都在探索著高等代數(shù)中求極限的方法并有所成效。在前人的基礎之上我對求極限的方法作了進一步的歸納總結，希望能讓讀者從中受益，能讓初學者懂得將靜態(tài)的、內(nèi)隱的教學規(guī)律轉化為動態(tài)的、外顯的探索性的數(shù)學活動，從而對數(shù)學學習的認知發(fā)生一個“質(zhì)”的飛躍。

一、由定義求極限

極限的本質(zhì)——既是無限的過程，又有確定的結果。一方面可從函數(shù)的變化過程的趨勢抽象得出結論，另一方面又可從數(shù)學本身的邏輯體系下驗證其結果。

然而并不是每一道求極限的題我們都能通過直觀觀察總結出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復雜的題。

二、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

此方法簡單易行但不適合于f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)是不連續(xù)的函數(shù)，及f（x）在x0處無定義的情況。

三、利用極限的四則運算法則和簡單技巧求極限

極限四則運算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運算法則求函數(shù)極限時，必須對所給的函數(shù)逐一進行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件。滿足條件者，方能利用極限四則運算法則進行求之，不滿足條件者，不能直接利用極限四則運算法則求之。但是，并非不滿足極限四則運算法則條件的函數(shù)就沒有極限，而是需將函數(shù)進行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運算法則求之。而對函數(shù)進行恒等變形時，通常運用一些簡單技巧如拆項，分子分母同乘某一因子，變量替換，分子分母有理化等等。

四、利用兩邊夾定理求極限

定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A

兩邊夾定理應用的關鍵：適當選取兩邊的函數(shù)（或數(shù)列），并且使其極限為同一值。

注意：在運用兩邊夾定理求極限時要保證所求函數(shù)（或數(shù)列）通過放縮后所得的兩邊的函數(shù)（或數(shù)列）的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。

五、利用兩個重要極限求極限

六、利用單調(diào)有界原理求極限

單調(diào)有界準則即單調(diào)有界數(shù)列必定存在極限。使用單調(diào)有界準則時需證明兩個問題：一是數(shù)列的單調(diào)性，二是數(shù)列的有界性；求極限時，在等式的兩邊同時取極限，通過解方程求出合理的極限值。

利用單調(diào)有界原理求極限有兩個難點：一是證明數(shù)列的單調(diào)性，二是證明數(shù)列的有界性，在證明數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的有界性時，我們通常都采用數(shù)學歸納法。

七、利用洛必達法則求極限

八、利用等價無窮小代換求極限

在實際計算過程中利用等價無窮小代換法或與其它方法相結合，不失為一種行之有效的方法，但并非計算過程中所有的無窮小量都能用其等價的無窮小量來進行計算。用等價無窮小代換時，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。于是用等價無窮小代換的問題便集中到對于分子、分母中的加減法因子如何進行x的等價無窮小代換這一點上，在利用等價無窮小代換的方法求極限時必須把分子（或分母）看作一個整體，用整個分子（或分母）的等價無窮小去代換。

九、利用泰勒展式求極限

運用等價無窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計算量，使問題得以簡化。但一般說來，這種方法僅限于求兩個無窮小量是乘或除的極限，而對兩個無窮小量非乘或非除的極限，對于一些未能確定函數(shù)極限形態(tài)的關系式，不能用洛必達法則及等價無窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。

十、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限

求極限的方法有很多種，在解題時，這些方法并不是孤立的，常常一個問題需要用到幾種方法。根據(jù)題目給出的條件，選擇適當?shù)姆椒ńY合使用，能使運算更簡捷，起到事半功倍的效果。同時又能加強對微積分知識整體上的深層次認識，對學好微積分是大有裨益的。

參考文獻：

[1]徐榮貴.求極限的方法和技巧[J].四川工程職業(yè)技術學院學報，2006（1）.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析上冊（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]戴劍萍.微積分中求極限的方法歸敘[J].黃山學院，2005，（15）.

[4]夏濱.利用洛必達法則求極限的方法與技巧探討[J]. 四川建筑職業(yè)技術學院，2008.