小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)差距研究
——教師視角：以中美教師對(duì)退位減法的認(rèn)識(shí)為例

陳六一

（陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)小學(xué)校 江蘇 蘇州 215151）

一、引言

2013年12月3日，PISA2012在全球65個(gè)國(guó)家和地區(qū)同步揭曉評(píng)比結(jié)果，第二次參加該項(xiàng)目測(cè)評(píng)的上海學(xué)生再次登上“世界第一”。接著2014年上半年，英國(guó)教育大臣、芬蘭教育代表團(tuán)相繼來(lái)上海“取經(jīng)”。這激起了筆者對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)成就的研究興趣，于是翻閱TIMSS的研究成果，并結(jié)合自己數(shù)次親歷的美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，發(fā)現(xiàn)中國(guó)，乃至受中國(guó)文化影響的新加坡、日本、韓國(guó)等國(guó)家和中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)的小學(xué)生，數(shù)學(xué)成績(jī)一直遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)美國(guó)。IEA研究者們認(rèn)為產(chǎn)生這種差距的原因主要有以下幾種：文化背景的差異，比如家長(zhǎng)的期望，“數(shù)·詞”體系；小學(xué)體制，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間；數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容及其安排。[1]可是，通過(guò)觀察美國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，以及與美國(guó)同行的交流，發(fā)現(xiàn)“學(xué)習(xí)差距”不僅僅局限于學(xué)生。換句話說(shuō)，也就是教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，直接影響著數(shù)學(xué)的教與學(xué)。

訪談以退位減法為例，請(qǐng)看這幾個(gè)題目：

你會(huì)怎樣教學(xué)生做這樣的題目？你覺(jué)得學(xué)生在學(xué)習(xí)退位減法之前，需要具備怎樣的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能？

二、美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)

1.知識(shí)理解——注重計(jì)算程序

A教師：42-7，學(xué)生要知道不能從2中直接減去7，那么就要從十位上借一個(gè)10來(lái)，所借的1，它等于10，如果把4劃掉，把它變成30，現(xiàn)在就是12-7=5，那么左邊就剩下3，把它挪下來(lái)。

B教師：不能從較小的數(shù)中減去較大的數(shù)，學(xué)生必須從鄰位中借，因?yàn)猷徫恢杏懈唷４騻€(gè)比方就是，如果你沒(méi)有足夠的個(gè)位數(shù)，你可以到朋友那里去借，朋友那兒有許多。

32位美國(guó)教師的問(wèn)卷，有26位（81.25%）關(guān)注計(jì)算程序。這些小學(xué)數(shù)學(xué)教師希望他們的學(xué)生學(xué)會(huì)如何執(zhí)行兩個(gè)特別的步驟：從十位上拿1個(gè)10來(lái)，然后把它換成10個(gè)1；并把“拿”這個(gè)步驟稱之為“借數(shù)”。根據(jù)“所借的1等于10”的現(xiàn)實(shí)，他們解釋第二個(gè)步驟為“變”。從這里可以看出他們對(duì)教學(xué)法的理解：一旦學(xué)生能夠正確執(zhí)行這兩個(gè)關(guān)鍵步驟，就能正確地完成整個(gè)計(jì)算。

有5位（15.63%）教師如C、D老師所述，則期望他們的學(xué)生不僅僅學(xué)會(huì)計(jì)算過(guò)程，也要學(xué)會(huì)運(yùn)算法則蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本原理。這些方法強(qiáng)調(diào)：在“拿”的背后是重組，在“變”的背后是轉(zhuǎn)換。

C教師：學(xué)生必須理解42的意思……我會(huì)出示數(shù)字42，以及3個(gè)十和12個(gè)一，等于42。我會(huì)在兩者之間進(jìn)行比較，因?yàn)樵谀阒亟M時(shí)知道的不是那么多，必須理解的是重組部分。一開始就是這個(gè)重組。

D教師：學(xué)生必須理解如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換。可利用10進(jìn)制的積木玩具，得到一個(gè)具體的數(shù)：10，例如按十進(jìn)制，在個(gè)位上，10個(gè)1和1個(gè)10是相等的。學(xué)生要習(xí)慣于在位值內(nèi)部進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即實(shí)際的值不發(fā)生變化，但是進(jìn)行了轉(zhuǎn)換。

教師期望學(xué)生所知道的，其實(shí)與教師自己的知識(shí)理解相關(guān)。一如前文的26位教師，僅僅希望學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算過(guò)程，這樣學(xué)生收獲的往往也就只是過(guò)程性的理解。何況“不能從較小的數(shù)中減去較大的數(shù)”是一個(gè)錯(cuò)誤的斷論。盡管低年級(jí)的學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)如何從較小的數(shù)中減去較大的數(shù)，但這并不意味著數(shù)學(xué)上沒(méi)有這個(gè)事實(shí)。這個(gè)高級(jí)的技能不要求在低年級(jí)教學(xué)，可也不能因?yàn)閺?qiáng)調(diào)了錯(cuò)誤觀念而引起學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)的混亂。

把被減數(shù)中的兩個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字比作鄰居或朋友，是另一種數(shù)學(xué)上的誤導(dǎo)，這暗示了被減數(shù)中的兩個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字是獨(dú)立的兩個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)數(shù)的兩個(gè)部分。

再者，“借數(shù)”的解釋暗含著又一個(gè)錯(cuò)誤：在計(jì)算中數(shù)的值不一定要保持不變，而是可以任意改變——如果一個(gè)數(shù)太小了，由于某種原因需要增大一些，就可以從另一個(gè)數(shù)那里“借”一定的值來(lái)。

E教師：你們認(rèn)為，從42中，能否拿出一個(gè)數(shù)字27？如果可以，那么用2減去7，我們做得到嗎？這兒是2，我直觀地表示出 1，拿走 7，1，2。不夠。那么我們能做什么呢？我們可以到這個(gè)數(shù)的另一個(gè)部分，拿我們能用的東西，即從另一邊取來(lái)，拿到我們需要幫助的個(gè)位，讓2變成12。

而E教師則排除了上面說(shuō)的那些錯(cuò)誤理解，在E教師的闡釋中，42-27不是獨(dú)立的兩個(gè)過(guò)程：2-7，40-20。計(jì)算是一個(gè)有機(jī)的整體：“從四十幾中，拿走二十幾。”不是“不能從較小的數(shù)中減去較大的數(shù)”，而是低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)理解：“可以到這個(gè)數(shù)的另一個(gè)部分，拿我們能用的東西。”注意：“這個(gè)數(shù)的另一個(gè)部分”和“另一個(gè)數(shù)”，所表達(dá)的數(shù)學(xué)意義有著質(zhì)的區(qū)別。但是，這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)理解，只占了問(wèn)卷總數(shù)的3.12%。

2.教學(xué)策略：為操作而操作

教學(xué)42－27=？[2]

學(xué)生操作1：

（1）擺4鏈（每鏈10個(gè)回形針）和2個(gè)回形針在桌上，把其中一鏈拆開，成3鏈與12個(gè)。

（2）取走2鏈與7個(gè)回形針。

（3）數(shù)一數(shù)，剩下多少個(gè)，并且決定剩下的要排成一鏈加5個(gè)或是15個(gè)。

學(xué)生操作2：

（1）擺4鏈和2個(gè)回形針在桌上。

（2）再擺2鏈與7個(gè)回形針在桌上。

（3）為了使42個(gè)與27能互相配合計(jì)算，42里面要有一鏈被拆散。

（4）拆散42中的一鏈，回形針成為3鏈與12個(gè)。

（5）兩組對(duì)齊后，各取走7個(gè)單獨(dú)的回形針。

（6）兩組對(duì)齊后，各取走2鏈回形針。

（7）數(shù)一數(shù)，羅拉比金吉多了一鏈加5個(gè)即15個(gè)回形針。

學(xué)生操作3：

（1）擺4鏈和2個(gè)回形針在桌上。

（2）擺2鏈和7個(gè)回形針在桌上。

（3）為了使42能與27個(gè)配合，42里面的一鏈必須拆散。

（4）拆散42中的一鏈，成3鏈12個(gè)。

（5）將兩組中的鏈和單個(gè)的回形針配對(duì)。

（6）數(shù)一數(shù)，克拉蒂還需要一鏈加5個(gè)或單獨(dú)15個(gè)回形針。

很明顯，美國(guó)教學(xué)案例中學(xué)生通過(guò)具體的學(xué)具操作，既獲得了運(yùn)算的意義，輔以大量的時(shí)間，又保證兒童尋找到自己的解，并在學(xué)具操作中完成計(jì)算。如同美國(guó)同行們的解讀：“通過(guò)參與性的經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)，操作性工具會(huì)比僅僅講述能更好地促進(jìn)學(xué)習(xí)。”然而，好的交通工具不一定能保證到達(dá)正確的目的地。因?yàn)閷W(xué)者們已經(jīng)注意到，為了促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解，教師有必要幫助學(xué)生把操作性工具和數(shù)學(xué)思想之間的聯(lián)系清晰地表達(dá)出來(lái)。

所以教師要適當(dāng)組織教學(xué)：“如果把1個(gè)鏈子打開，將會(huì)發(fā)生什么？我們會(huì)有多少個(gè)1？用哪種方式可以進(jìn)行減法？”乃至追問(wèn)：“你們現(xiàn)在告訴我，你有沒(méi)有在42上填什么或者去掉什么？4個(gè)10和2個(gè)1，與3個(gè)10、12個(gè)1是相同的，那么當(dāng)你從中取走27個(gè)時(shí)會(huì)發(fā)生什么？”

三、中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)

1.知識(shí)分析——退一法

趙老師：我會(huì)告訴學(xué)生，當(dāng)你在計(jì)算42-27這樣的問(wèn)題時(shí)，首先要把數(shù)字排列起來(lái)，從個(gè)位開始減起。因?yàn)橐獜?中減去7不夠減，應(yīng)該從十位退1個(gè)10來(lái)把它變成10個(gè)1。再把這1個(gè)10加到個(gè)位就得12；用12-7=5；然后轉(zhuǎn)到十位，由于十位上的4已經(jīng)借走1個(gè)10給個(gè)位，所以只剩下3個(gè)10，用3-2=1，把它放在十位上。

趙老師的解釋和美國(guó)的A、B教師相似，注重的是運(yùn)算法則的具體步驟，沒(méi)有顯示出對(duì)原理的關(guān)注。但中國(guó)教師持有這種計(jì)算程序性取向的比率，比美國(guó)要小得多，如圖1所示。不過(guò)，中國(guó)教師都會(huì)運(yùn)用一個(gè)做減法重組的特定詞語(yǔ)：“退一”。

錢老師：我會(huì)從一個(gè)直截了當(dāng)?shù)臏p法開始，如42-21=？在學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題后，我把問(wèn)題變成42-27=？這個(gè)問(wèn)題與第一個(gè)問(wèn)題的不同點(diǎn)在哪里？在計(jì)算新問(wèn)題時(shí)會(huì)發(fā)生什么？學(xué)生很快會(huì)發(fā)現(xiàn)7比2大，沒(méi)有足夠的個(gè)位數(shù)去減。見機(jī)我會(huì)說(shuō)好，但有時(shí)我們個(gè)位數(shù)太多了，你們應(yīng)該記得上周我們利用進(jìn)位做加法，那時(shí)我們做了什么？學(xué)生會(huì)說(shuō)“滿十進(jìn)一”。我接著說(shuō)，那么當(dāng)我們沒(méi)有足夠的個(gè)位數(shù)去減時(shí)怎么辦？可以從十位退一。如果把40中的一個(gè)十退位了，會(huì)發(fā)生什么？用這種方式我就會(huì)引入“退1成為低位上的10”。

孫老師：要在42中減去7，沒(méi)有足夠的個(gè)位數(shù)怎么辦？42顯然大于7。42中的個(gè)位數(shù)在哪里？學(xué)生會(huì)說(shuō)42中的其他個(gè)位數(shù)被組合成十位數(shù)了。然后我會(huì)問(wèn)我們可以做些什么，得到足夠的個(gè)位數(shù)字來(lái)減去7。通過(guò)回憶，學(xué)生會(huì)有分解一個(gè)10的想法。

圖1 教師對(duì)于利用重組做退位減法的理解

把“拿”的步驟描述為“退一”，比“重組”的解釋更全面。因?yàn)樵谑褂谩巴艘弧钡母拍顣r(shí)，減法過(guò)程是以一種表明了它與加法運(yùn)算的關(guān)聯(lián)方式來(lái)闡述的，這不僅為減法學(xué)習(xí)提供更多的表征支持，而且強(qiáng)化了學(xué)生之前的學(xué)習(xí)。而且，中國(guó)教師除了像美國(guó)教師注重“重組”那樣強(qiáng)調(diào)1個(gè)10由10個(gè)1組成，近一半的中國(guó)教師還提到了一個(gè)重組數(shù)字前的一個(gè)概念：進(jìn)率。這些教師主張：學(xué)生應(yīng)該清楚“1個(gè)10里有多少個(gè)1”和“百位與十位、十位與個(gè)位的進(jìn)率是多少”的答案一致。

形如把42拆成30和12，是所有美國(guó)教師的標(biāo)準(zhǔn)方式，無(wú)人超越這個(gè)方式。但是，不乏有中國(guó)教師指出，這不是進(jìn)行減法計(jì)算的唯一正確途徑，圍繞著“退一”原理，教師們討論了各種各樣的重組方式。

李老師：42-27=30+10+2-20-7=（10-7+2）+（30-20）=15。這種方式的好處在于從10中減去7比從12中減去7容易些，而且這個(gè)程序中所包含的加法不涉及進(jìn)位，所以非常簡(jiǎn)單。

周老師：42-27=42-2-5-20=40-5-20=35-20=15。這樣把27拆成20、2、5三個(gè)數(shù)值，那么42-2不用退位，40-5和35-10與學(xué)生思維都是很簡(jiǎn)單。

2.教學(xué)策略：系列水平動(dòng)作

教學(xué)42-27=？

[教師出示4捆小棒（每捆10根）和2根小棒]

師：這些小棒表示幾？

生：42。

師：要從42里去掉27，就是42減27（板書：42－27=？），個(gè)位上夠減嗎？

生：不夠減。

師：個(gè)位上不夠減，怎么辦？請(qǐng)小朋友拿出小棒，動(dòng)動(dòng)腦筋，想想辦法，個(gè)位上怎么減去7呢？

（學(xué)生操作，教師巡視。）

師：現(xiàn)在老師請(qǐng)小朋友來(lái)匯報(bào)一下，你想出了什么好辦法？

（在學(xué)生回答的同時(shí)教師示范操作。）

師：個(gè)位不夠減7，從4捆小棒中取出1捆，也就是從十位退1。十位上的1退到個(gè)位上是幾？為什么？

生：是10，因?yàn)?個(gè)10是10個(gè)1。

師：個(gè)位上的2不夠減7，從十位退1，在個(gè)位上加10再減。個(gè)位上10加2等于12，12減7等于5，個(gè)位上寫5，十位上4退1還有3，3-2=1。所以42減27等于15。

（教師小結(jié)并板書：個(gè)位不夠減，從十位退1，在個(gè)位上加10再減。）

其實(shí)，中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)“42-27”之前，已經(jīng)把“20以內(nèi)的減法”的教學(xué)，當(dāng)作“退一”需要的減法重組概念過(guò)程基礎(chǔ)。所以教學(xué)中，教師提出：“個(gè)位上不夠減，怎么辦？請(qǐng)小朋友拿出小棒，動(dòng)動(dòng)腦筋，想想辦法，個(gè)位上怎么減去7呢？”學(xué)生的思維能快速聚焦“個(gè)位上的2不夠減7，從十位退1，在個(gè)位上加10再減。”

也就是說(shuō)，減法中的重組思想，把高位退一到低一位當(dāng)十，是通過(guò)一系列的水平動(dòng)作完成的。此案例教學(xué)之后就是被減數(shù)是三位數(shù)和更多位數(shù)，且新的水平動(dòng)作又是連續(xù)的分解，比如208-15，203-18，1000-18。

在美國(guó)，諸如“9+3”“16-7”這樣的問(wèn)題，被認(rèn)為是“基本的算術(shù)事實(shí)”，僅僅需要記憶即可。而在中國(guó)，概念的“種子”，早在第一個(gè)水平——“20以內(nèi)的減法”就出現(xiàn)了。

同時(shí)觀察課堂，盡管發(fā)現(xiàn)中國(guó)教師用到教具、學(xué)具的頻率比美國(guó)教師少，但他們認(rèn)為操作了，就要像課例中就活動(dòng)操作要進(jìn)行必要的討論、報(bào)告、展示、辯論，如上文中所述，“現(xiàn)在老師請(qǐng)小朋友來(lái)匯報(bào)一下，你想出了什么好辦法？”再例如吳老師談了他在開學(xué)之初的一次教學(xué)討論，又在學(xué)期結(jié)束進(jìn)行了思辨。

吳老師：計(jì)算42-27，利用教學(xué)具的時(shí)候，學(xué)生是從高位開始的，先從42中拿去20，再拿去7。這如同日常生活，付10元錢買了3元6角的東西，我們先減3元，再減6角。從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，學(xué)校里的正式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)似乎更加復(fù)雜，而且意義更少。當(dāng)我們?cè)诒咀由涎菟憔蜁?huì)發(fā)現(xiàn)，從十位開始的話，我們?cè)谑簧舷鹊玫揭粋€(gè)差2，然后轉(zhuǎn)到個(gè)位上，我們就又要改變剛剛所得到的差。如果我們一開始從個(gè)位開始計(jì)算，這個(gè)麻煩就可以避免了。然而這種解釋只能解決一半的問(wèn)題——用豎式計(jì)算為什么從個(gè)位算起。由于學(xué)生還沒(méi)有看出這種標(biāo)準(zhǔn)算法的明顯好處，我建議他們保留疑惑。期末，再次討論時(shí)，學(xué)生們很快發(fā)現(xiàn)，在遇到更大的數(shù)的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)方式對(duì)絕大多數(shù)問(wèn)題而言，優(yōu)勢(shì)更加突出。

如果吳老師的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)與教學(xué)策略，僅是停留在為操作而操作階段，那么很難想象他會(huì)引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到這樣的數(shù)學(xué)理解。

四、結(jié)論及討論

問(wèn)卷、訪談與課堂觀察的結(jié)果，揭示了教師們對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容所擁有的知識(shí)不夠充足，美國(guó)教師為甚。以退位減法為例，81.25%的美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教師和17.50%的中國(guó)小學(xué)教師，只擁有計(jì)算程序性知識(shí)，他們的理解僅僅局限于運(yùn)算法則的表面——拿和換的步驟。正是這種數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的局限性，限制了他們?cè)谡n堂中促進(jìn)學(xué)生概念性學(xué)習(xí)的能力。

雖然操作教學(xué)具，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種重要手段，但決定學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，還是要依賴于教師認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)的概念。與美國(guó)教師形成鮮明對(duì)照的是，絕大多數(shù)中國(guó)教師在活動(dòng)操作之后，會(huì)進(jìn)行班級(jí)討論，這個(gè)教學(xué)策略使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能得以同化與順應(yīng)，使得新舊知識(shí)得以平衡，不是為了操作而操作。

通過(guò)退位減法的問(wèn)卷與訪談，教師所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)模型，有一元單項(xiàng)表述，也有多元系列水平動(dòng)作。結(jié)合課堂教學(xué)觀察，系列水平動(dòng)作的教學(xué)更符合布魯納的研究：“掌握某一學(xué)科的結(jié)構(gòu)以理解這個(gè)學(xué)科，可以使許多其他事物與該學(xué)科有意義地聯(lián)系起來(lái)。簡(jiǎn)而言之，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何關(guān)聯(lián)的。”[3]誠(chéng)如布翁所言，教師若能夠把數(shù)學(xué)系列水平的概念種子放入到階段教學(xué)中，不僅能促進(jìn)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識(shí)表征，而且“大量的遷移是可以實(shí)現(xiàn)的，甚至可以達(dá)到如此程度，即在適宜條件下恰當(dāng)?shù)貙W(xué)習(xí)可以使人‘學(xué)會(huì)怎樣學(xué)習(xí)’，這確實(shí)是事實(shí)。”[4]▲

[1]馬立平.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)[M].李士锜，吳穎康,等，譯.上海:華東師范大學(xué)出版社，2013:19.

[2]Marjorie J W.創(chuàng)意教學(xué)策略[M].呂金燮，譯.臺(tái)北:洪葉文化事業(yè)有限公司，1998:207-230.

[3][4]Jerome Bruner.布魯納教育文化觀[M].宋文里，黃小鵬，譯.北京:首都師范大學(xué)出版社，北京：2011:24,25.