小學數學教學“教什么”

李 祎 王 珍

（1.福建師范大學數學與計算機科學學院 福建 廈門 350007；2.廈門外國語學校海滄附屬學校 福建 廈門 361026）

高水平的教師，能透過現象看到本質，在教教材中顯性知識的同時，能挖掘出其背后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內容。這些不易教到的隱性知識是什么呢？概括而言，我們認為是數學的本質、過程、思想和結構。

一、教“本質”

數學概念是反映數學的本質屬性的思維產物，所謂本質屬性就是該類事物共有和特有的穩定屬性。數學概念包括內涵和外延兩個方面，揭示數學概念的本質屬性，關鍵是要掌握概念的內涵，明確概念的外延。比如，對于數學中最簡單的概念——自然數的學習，必須明確自然數的兩重意義：一是表示數量意義，即被數的物體有“多少個”，這種用來表示事物數量的自然數，稱為基數；二是表示次序意義，即最后被數到的物體是“第幾個”，用來表示事物次序的自然數，稱為序數。自然數不僅包括正整數1，2，3，…，還包括0，這就是自然數的外延。

數學中有些概念的本質，相對比較隱晦，需要教師努力揭示。比如，“把連接兩點之間的線段的長度叫作兩點之間的距離”“從直線外一點到這條直線所作的垂直線段的長度叫作點到直線的距離”，這樣的定義并沒有直接反映出距離的本質。那么，距離的本質是什么呢？距離的本質就是“最小值”：圖形P內的任一點與圖形Q內的任一點間的距離中的最小值，叫作圖形P與圖形Q的距離。在教學中把握住這一本質，那么，后續學習“兩平行線之間的距離”“點到平面的距離”“直線到與它平行的平面的距離”“兩個平行平面的距離”“異面直線的距離”的概念時，學生往往也能不教自明，從而順利實現知識的遷移。這也說明，掌握數學概念的本質，并不意味著背誦概念的定義。

學習數學不僅要掌握數學概念的本質，還要掌握數學結論和數學方法的本質。

所謂數學結論，是指數學中的公理、定理、公式、法則等。把握數學結論的本質，并不在于記誦結論本身，而在于理解其內涵，明確其意義，掌握其正確的理由。比如對于三角形而言，三個內角大小反映了三角形的形狀，不同三角形的三個內角不全相同，但三個內角之和卻是定值，這就是三角形的三內角和定理，它反映了任意三角形的三個內角之間所滿足的等量關系，據此就可以實現“知二求一”。對于該結論，不僅可以通過剪拼、折疊等方法來獲得，還可以通過直觀的手段，來對其進行驗證。比如圖1，用橡皮筋構成△ABC，其中頂點B、C為定點，A為動點。放松橡皮筋后，點A自動收縮于BC上，考察點A變化時所形成的一系列的三角形……根據其內角的變化獲得結論。還可以這樣理解：如圖2，假設一個人從A點出發，沿著逆時針方向經過各個頂點，然后回到出發的A點并轉向出發時的方向，這個人所轉過的角的和恰好是這個三角形的外角和。由于剛好轉了一圈回到出發點，因此其外角和是360°，所以三角形的內角和就是 3×180°-360°=180°。不難發現，這種方法可用來解釋任意凸多邊形的外角和與內角和，因而更為本質地反映了結論的內在規律性。

圖1

圖2

數學中除了一些結論性知識，還有大量的方法性知識，比如運算的方法、度量的方法、變換的方法、論證的方法等。掌握數學方法的本質，不僅要掌握“怎么做”，即方法運用的程序與步驟，還要掌握“為什么可以這樣做”，即方法運用的緣由、條件與范圍等。比如對于數的加減運算的方法，必須抓住計數單位這一本質。因為自然數以“1”為標準，“1”是自然數的單位，所以任何兩個自然數都可以直接相加減；同分母分數，因為它們的分數單位相同，所以能直接相加減；異分母分數，因為它們的分數單位不同，所以就要把它們化成相同的單位，這樣才可以相加減。小數的加減運算中為什么小數點對齊才能相加減呢？其本質也是相同計數單位要相同。在小數中，小數點的左邊是整數部分，第一位是個位，第二位是十位，……，小數點右邊是小數部分，第一位是十分位，第二位是百分位，……在計算小數加、減法的豎式中，只要小數點對齊，相同數位就對齊了，相同計數單位也就同樣能相加減，而不必考慮小數的末位是不是一定對齊。

二、教“過程”

數學有三種形態：原始形態、學術形態和教育形態。原始形態是指數學家在探索發現數學真理時所進行的曲折、復雜的數學思考；學術形態是指數學家對探索、發現的數學真理進行歸納、整理形成文本材料后的一種形態，它呈現出的是“簡潔的、冰冷的形式化美麗”；教育形態是指教師通過自己的設計，將學術形態的數學知識有效地“激活”，使學生在學習數學時，能夠模仿數學家那樣進行“火熱的思考”，它是介于原始形態和學術形態之間的一種形態。

弗賴登塔爾曾經這樣描述數學的表達形式：沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來，一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗，因此他說教材是“教學法的顛倒”。為了彰顯數學知識的過程性，就要通過數學知識的教育形式散發出數學的巨大魅力，讓數學“冰冷的美麗”喚醒學生“火熱的思考”，因此在數學教學設計中需要采用稚化思維的設計策略。

所謂稚化思維，就是教師把自己的外在權威隱蔽起來，在教學時不以一個知識豐富的教師自居，而是把自己的思維降格到學生的思維水平上，親近學生，接近學生，有意識地退回到與學生相仿的思維狀態，設身處地地揣摩學生的學習水平、狀態等，有意識地發生一種陌生感、新鮮感，以與學生同樣的認知興趣、同樣的學習情緒、同樣的思維情境、共同的探究行為來完成教學的和諧共創。

比如在“乘法的初步認識”的教學中，要把自己的思維置身于前人“做乘法”的境地，想象自己在對乘法一無所知的情況下面臨的困惑，由衷地感受到乘法出現所蘊含的價值[1]：一是簡化意識的形成。前人在做大量的加法時，發現加法可分為兩類：一類是加數不同的加法，一類是加數相同的加法。加數相同的加法是不是可以有一種更簡便的方法呢？二是思維視角的變化。在乘法出現之前，加減運算所關注的都是整體里的具體數量，這屬于同一層面的視角，而乘法則必須既注意整體里的具體數量，同時還關注整體的個數，這可謂是既見樹木又見森林，思維視角發生變化，顯示出思維層次的提升。

無疑，讓學生能經歷這兩個方面的“再創造”，才是真正有價值的學習。因此在教學中要充分調動學生的直觀的生活經驗，讓學生體驗相同加數相加的實際問題很普遍。同時引導學生從相同加數和相同加數的個數不同等角度去看待問題，學會“幾個幾”的表達方式。在由加法算式改寫成乘法算式這一環節，為什么用乘法表示，怎樣用乘法表示，都盡可能讓學生回到知識生成的原生狀態，讓學生去把需要發現的知識建構和再創造出來。

“過程”是形成“結論”或獲得“結果”而必須經歷的程序、步驟，沒有“過程”便沒有真正意義上的“結果”。所以教師在數學教學中，要凸顯知識的本質特征，強化學生的數學理解，注重學生的能力培養，就必須重視知識的生成、發生、發展等過程性。教學中掐頭去尾燒中段，忽視知識的來龍去脈，有意無意減縮思維過程，就可能造成思維斷層，出現嚴重“消化不良”，從而降低數學教學的質量。當然在實際的數學教學中，由于各種原因，有時做不到徹底的知識的原生態建構，但只有有了這樣的意識和追求，課堂教學才會盡可能地貼近當時的真實情境。

三、教“思想”

數學問題可以千變萬化，而其中運用的數學思想方法，卻往往是相通的。不去領悟數學思想方法，只滿足于對知識結論的記憶和解題技巧的掌握，這種“重術輕道”的數學教學，難以培養出有創造力的人才。因為數學知識教學只是信息的傳遞，而數學思想方法的教學才能使學生形成觀點和技能。數學學習的根本目的，就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價值的策略性知識——數學思想方法。

所謂數學思想，是指人們從某些具體數學內容和對數學的認識過程中抽象概括出來的對數學知識內容的本質認識。數學方法是指人們在數學問題解決過程中所采取的步驟、程序和實施辦法。數學思想是數學的靈魂，是數學內容和數學方法的升華與結晶，它支配著數學的實踐活動。數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，它為數學思想提供邏輯手段和操作原則。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程度時就產生了質的飛躍，從而上升為數學思想。若把數學知識看作用一幅構思巧妙的藍圖建筑起來的一座宏偉大廈，那么數學方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數學思想。

數學教材中蘊涵了豐富的數學思想方法，但這些思想方法往往并沒有明確地寫在教材上。如果說顯性的數學知識是寫在教材上的一條明線，那么隱性的思想方法就是潛藏其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看明。“明線”直接用文字形式寫在教材里，反映知識間的縱向聯系；“暗線”反映著知識間的橫向聯系，常常隱藏在基礎知識的背后，需要經過分析、提煉才能顯露出來。在數學教材里，到處都體現著這兩條線的有機結合。在數學教學中，在教顯性知識的同時，能否教出隱性的思想，既影響到了學習的效果，又彰顯了教師的素質和水平。

比如在人教版小學數學五年級上冊“簡易方程”一節的教學中，包含了許多數學思想方法：通過多種形式，由符號表示數，到用字母表示數，由此滲透了代數的基本思想——用字母表示數的符號化思想；字母既可以表示已知量，也可以表示未知量，當字母表示未知量時，我們要設法建立包含未知數的等式——方程思想；為了建立方程，通常需要尋找一個量，這個量既可以這樣表示，也可以那樣表示，由此獲得等量關系，此即重要的數學思想——不變量思想；解方程的過程，是采用對象性思維的方式，利用等式的性質對方程進行等價變形的過程——等價轉化思想；建立方程過程中的諸多實例，都是采用“問題情境—建立模型—求解驗證”的思路，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題的過程——數學模型思想；對于方程求解的方法與步驟，采用了由具體實例到一般意義的抽象概括——從特殊到一般的歸納思想；在歸納數量關系用字母表示時，還滲透了變量間的對應和依存關系，如標準體重隨著身高的變化而變化，兩個量之間具有一一對應的關系——函數思想。

四、教“結構”

美國教育家布魯納認為，“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。”所謂學科基本結構，是指該學科的基本概念、基本原理及其相互之間的關聯性，是指知識的整體性和事物的普遍聯系，而非孤立的事實本身和零碎的知識結論。他認為，這種基本結構應該成為教學過程的核心，因為掌握了學科知識的基本結構，就能把握住知識體系的核心和關鍵，就可以從宏觀上理解學科知識，從而避免“只見樹木不見森林”。

小學數學的各個內容領域，都是按照數學的科學體系和兒童認知發展順序建立起來的統一體。因此鉆研教材和進行教學，不僅要研究本節課的教學內容，更要研究這部分內容與前后知識的內在聯系；不僅要熟悉自己所教年級的教學內容，還要熟悉相鄰年級的教學內容，甚至要熟悉整個學段的教學內容。這樣才能了解到所要教學的內容是在怎樣的基礎上發展起來的，又怎樣為后面所要學習的內容做準備，進而在教學中有意識地溝通新舊知識的縱橫聯系，突出基本概念和基本規律。

比如在“多邊形面積的計算”的教學中，教師應重視引導學生加強對知識之間內在聯系的認識，幫助學生構建完整的知識體系，形成良好的數學認知結構，以有利于學生對數學知識的理解。一方面，在各種圖形的面積計算公式的推導過程中，要充分利用割補、拼擺、平移、旋轉等實際操作，引導學生運用化歸轉化的思想，把所研究的圖形轉化成已經會計算面積的圖形，在探索規律、推導公式的同時，使學生感受各種圖形之間的區別與聯系；另一方面，在學生掌握了各種圖形的面積計算公式的基礎上，要引導和幫助學生溝通各種圖形的特征及面積計算公式之間的內在聯系，將三角形、平行四邊形、長方形、正方形等看作梯形在不同條件下的特殊情況，從而把學生所學過的面積計算公式統一為梯形面積公式。

數學中的各種內在聯系，不僅包括知識之間的內在的縱向聯系，還包括思想方法之間的橫向聯系。比如在“圖形度量”方面，分別研究了長度、角度、面積、體積的度量方法。知識展開的邏輯順序是：線段長→多邊形周長→圓周長；兩直線的夾角→角的度量→兩直線位置關系；單位正方形面積→長方形與正方形面積→其他多邊形面積→圓面積→多面體表面積；單位正方體體積→長方體與正方體體積→圓柱體積→圓錐體積。四項研究的具體內容不同，但其邏輯結構卻是相同的，都是“定義幾何量→確定度量單位→尋求度量方法→建立可能的度量公式”，這就是數學中的基本思想——度量思想。如研究長方形周長：定義周長是各邊長度之和→定義長度單位是某根尺的長度或其更小分量→推出“周長等于長加寬乘以2”。

因此，挖掘內在聯系，找準核心思想，通過融會貫通的過程，使我們透過繁雜的現象，抓住了本質，同時簡化了記憶。更重要的是，學會了認識問題的思想方法：由尋找聯系入手，把個別的、離散的現象構造成渾然一體的系統，這標志著能力的提高和素質的發展。

總之，高水平的數學教師，通過犀利而深邃的數學眼光，看到的不只是各種數學概念、公式、法則和圖表，而應是書中跳躍著的真實而鮮活的數學內容。這些內容給人的感覺是“不在書里，就在書里”。教師對這些內容挖掘得越豐富，感悟出來的道理就越透徹，設計出來的教學就會越厚重，學生由此而汲取的數學營養就會越豐富。▲

[1]王俊.返回知識生成的原生狀態——“乘法的初步認識”的教學思考與實踐[J].小學數學教師,2004(12):24-30.