數列通項的幾種常見求法

劉義鳳

數列是高中數學的重要內容之一，也是高考的考查重點。而數列的通項公式，是研究數列的第一個環節，也是最重要的一個環節。有了數列的通項，問題研究起來就方便多了。數列通項公式的求法也很多，根據具體的條件，而采用不同的求法。下面筆者通過一些例題來講解數列通項公式的幾種常見求法。

一、觀察歸納法

通過觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通項。

例1根據數列的前幾項寫出下列數列的一個通項公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）數列的前5項有如下規律：分母2，4，8，16，32與序號的關系是2的序號次冪，分子1，3，7，15，31與序號的關系是2的序號次冪減1；（2）不難看出數列前5項有如下規律：10-1，100-1，1000-1，10000-1進一步可以發現10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考實例（江蘇高考題）將全體正整數排成一個三角形數陣：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的規律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數為 。

解析每行最后一個數分別為1，3，6，10，…，故可以歸納出第n行最后一個數為112n（n+1），從而得到第n行（n≥3）從左向右的第3個數為112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，當然也可以從第n行第一個數開始歸納。

二、公式法

當數列是等差或等比數列時，只需確定首項和公差（或公比）代入等差（或等比）數列的通項公式即可。

例2（1）已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求數列的通項an；（2）已知數列{an}中，a1=1，an+11an=2，求數列的通項an。

略解根據等差數列的定義可知（1）為首項為1公差為2的等差數列，故an=2n-1；

根據等比數列的定義可知（2）為首項為1公比為2的等比數列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b為常數，f（n）是可求和的），求數列的通項an。這樣類型的問題，常用累加法。

例3已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求數列的通項an。

略解當n≥2時， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式對a1=1時也成立。所以an=n（n+1）12。

高考實例（四川高考題）設數列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，則通項an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b為常數，f（n）是可求積的），求數列的通項an。這樣類型的問題，常用累乘法。

例4已知數列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求數列的通項an。

略解當n≥2時，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1時a1=1，上式也成立。所以an=n

四、構造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且為常數），求數列的通項an。這樣類型的問題，常常用構造{an+c}為等比數列求通項，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）來確定。

例5（1）已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數列的通項；（2）已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求數列的通項。

略解（1）由an+1=2an+1化為an+1+1=2（an+1）。

故數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化為an+112n+1-an12n=112，

故數列{an12n}是以112為首項，112為公差的等差數列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在數列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求數列{bn}的通項公式。

略解將an+1=（1+11n）an+n+112n兩側同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。設bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下來可以利用累加法解出{bn}的通項，從而得到{an}的通項。

高考實例（安徽高考題）設數列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c為實數，且c≠0，求數列endprint

數列是高中數學的重要內容之一，也是高考的考查重點。而數列的通項公式，是研究數列的第一個環節，也是最重要的一個環節。有了數列的通項，問題研究起來就方便多了。數列通項公式的求法也很多，根據具體的條件，而采用不同的求法。下面筆者通過一些例題來講解數列通項公式的幾種常見求法。

一、觀察歸納法

通過觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通項。

例1根據數列的前幾項寫出下列數列的一個通項公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）數列的前5項有如下規律：分母2，4，8，16，32與序號的關系是2的序號次冪，分子1，3，7，15，31與序號的關系是2的序號次冪減1；（2）不難看出數列前5項有如下規律：10-1，100-1，1000-1，10000-1進一步可以發現10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考實例（江蘇高考題）將全體正整數排成一個三角形數陣：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的規律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數為 。

解析每行最后一個數分別為1，3，6，10，…，故可以歸納出第n行最后一個數為112n（n+1），從而得到第n行（n≥3）從左向右的第3個數為112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，當然也可以從第n行第一個數開始歸納。

二、公式法

當數列是等差或等比數列時，只需確定首項和公差（或公比）代入等差（或等比）數列的通項公式即可。

例2（1）已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求數列的通項an；（2）已知數列{an}中，a1=1，an+11an=2，求數列的通項an。

略解根據等差數列的定義可知（1）為首項為1公差為2的等差數列，故an=2n-1；

根據等比數列的定義可知（2）為首項為1公比為2的等比數列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b為常數，f（n）是可求和的），求數列的通項an。這樣類型的問題，常用累加法。

例3已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求數列的通項an。

略解當n≥2時， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式對a1=1時也成立。所以an=n（n+1）12。

高考實例（四川高考題）設數列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，則通項an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b為常數，f（n）是可求積的），求數列的通項an。這樣類型的問題，常用累乘法。

例4已知數列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求數列的通項an。

略解當n≥2時，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1時a1=1，上式也成立。所以an=n

四、構造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且為常數），求數列的通項an。這樣類型的問題，常常用構造{an+c}為等比數列求通項，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）來確定。

例5（1）已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數列的通項；（2）已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求數列的通項。

略解（1）由an+1=2an+1化為an+1+1=2（an+1）。

故數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化為an+112n+1-an12n=112，

故數列{an12n}是以112為首項，112為公差的等差數列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在數列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求數列{bn}的通項公式。

略解將an+1=（1+11n）an+n+112n兩側同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。設bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下來可以利用累加法解出{bn}的通項，從而得到{an}的通項。

高考實例（安徽高考題）設數列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c為實數，且c≠0，求數列endprint

數列是高中數學的重要內容之一，也是高考的考查重點。而數列的通項公式，是研究數列的第一個環節，也是最重要的一個環節。有了數列的通項，問題研究起來就方便多了。數列通項公式的求法也很多，根據具體的條件，而采用不同的求法。下面筆者通過一些例題來講解數列通項公式的幾種常見求法。

一、觀察歸納法

通過觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通項。

例1根據數列的前幾項寫出下列數列的一個通項公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）數列的前5項有如下規律：分母2，4，8，16，32與序號的關系是2的序號次冪，分子1，3，7，15，31與序號的關系是2的序號次冪減1；（2）不難看出數列前5項有如下規律：10-1，100-1，1000-1，10000-1進一步可以發現10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考實例（江蘇高考題）將全體正整數排成一個三角形數陣：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的規律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數為 。

解析每行最后一個數分別為1，3，6，10，…，故可以歸納出第n行最后一個數為112n（n+1），從而得到第n行（n≥3）從左向右的第3個數為112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，當然也可以從第n行第一個數開始歸納。

二、公式法

當數列是等差或等比數列時，只需確定首項和公差（或公比）代入等差（或等比）數列的通項公式即可。

例2（1）已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求數列的通項an；（2）已知數列{an}中，a1=1，an+11an=2，求數列的通項an。

略解根據等差數列的定義可知（1）為首項為1公差為2的等差數列，故an=2n-1；

根據等比數列的定義可知（2）為首項為1公比為2的等比數列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b為常數，f（n）是可求和的），求數列的通項an。這樣類型的問題，常用累加法。

例3已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求數列的通項an。

略解當n≥2時， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式對a1=1時也成立。所以an=n（n+1）12。

高考實例（四川高考題）設數列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，則通項an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b為常數，f（n）是可求積的），求數列的通項an。這樣類型的問題，常用累乘法。

例4已知數列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求數列的通項an。

略解當n≥2時，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1時a1=1，上式也成立。所以an=n

四、構造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且為常數），求數列的通項an。這樣類型的問題，常常用構造{an+c}為等比數列求通項，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）來確定。

例5（1）已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數列的通項；（2）已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求數列的通項。

略解（1）由an+1=2an+1化為an+1+1=2（an+1）。

故數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化為an+112n+1-an12n=112，

故數列{an12n}是以112為首項，112為公差的等差數列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在數列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求數列{bn}的通項公式。

略解將an+1=（1+11n）an+n+112n兩側同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。設bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下來可以利用累加法解出{bn}的通項，從而得到{an}的通項。

高考實例（安徽高考題）設數列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c為實數，且c≠0，求數列endprint