整體思想在高中數學解題中的應用

杜學文

數學是一門重在學習解題思路的學科，如何讓學生更好地學習高中數學、掌握解題方法，這就要求教師在教學中能夠巧妙地將整體思想貫穿到教學當中去，向學生明確地展示出得出解題方案的整體思想。

一、總體思想在高中數學解題中的重要作用

整體思想簡單地說，解答數學習題時，暫時忽略局部復雜而模糊的細節，以整體來解題，從而達到求解出問題結論的目的。它是最基本、最常用的的數學思想，在高中數學中是一種重要的解題思想。學生若能靈活掌握整體思想的運用，將會在高中數學的解題中化復雜為簡單，讓難題變為易解題，從而提高學生做題的準確率。

二、整體思想在高中數學解題中的應用實例

一般情況下，整體思想的解題方法往往與換元相結合，首先要對題目進行整體性地觀察，然后根據解題需要判斷是否需要進行整體的變形、換元、配對或者是代入等轉化。需要注意的是，在轉化的過程中要注意一切的運算都要以等價為原則。

1。運用整體思想補式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，則A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。運用整體思想代換

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范圍。

解設u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因為-2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

點評如遇到此類的問題，我們在解題的過程中要采用整體的代換方式進行求解。

3。運用整體思想換元

例3設x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角換元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），則x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解較困難，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，從而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知當t=2即x=y=212時，x+y+xy的最大值為112+2。

點評在對二元函數進行求解時，整體思想是最常用的解題方法，一般采用整體換元將二元函數轉化為一元函數進行求解。

4。運用整體思想配方

例4求函數y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此題，我們首先要進行思想的轉換，然后進行整體的配方，最后利用放縮來求解。

我們先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，當且僅當x2+4+11x2+4，即x2=-3時等號成立，顯然這是不可能的。因此，利用均值不等式中的等號成立不能夠求出最小值，我們必須尋找新的解題方法。

注意到x2+4與11x2+4的關系，嘗試整體配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因為41x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，當且僅當x=0時等號成立，故y的最小值是512。

點評本題中整體配方后，就可以視（41x2+4-1141x2+4）2為一個新的整體，通過研究它的最小值，就能達到研究整個函數最小值的目的.因此，在解題中，我們要能夠抓住問題的根本特點，靈活地運用整體思想，才能取得意想不到的效果。

5。運用整體思想求導

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若當x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數t的取值范圍.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

視x+1-2x-t為一個整體，令其為F（x），對F（x）實施整體求導，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因為x∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上單調遞減，F（0）為其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成

數學是一門重在學習解題思路的學科，如何讓學生更好地學習高中數學、掌握解題方法，這就要求教師在教學中能夠巧妙地將整體思想貫穿到教學當中去，向學生明確地展示出得出解題方案的整體思想。

一、總體思想在高中數學解題中的重要作用

整體思想簡單地說，解答數學習題時，暫時忽略局部復雜而模糊的細節，以整體來解題，從而達到求解出問題結論的目的。它是最基本、最常用的的數學思想，在高中數學中是一種重要的解題思想。學生若能靈活掌握整體思想的運用，將會在高中數學的解題中化復雜為簡單，讓難題變為易解題，從而提高學生做題的準確率。

二、整體思想在高中數學解題中的應用實例

一般情況下，整體思想的解題方法往往與換元相結合，首先要對題目進行整體性地觀察，然后根據解題需要判斷是否需要進行整體的變形、換元、配對或者是代入等轉化。需要注意的是，在轉化的過程中要注意一切的運算都要以等價為原則。

1。運用整體思想補式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，則A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。運用整體思想代換

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范圍。

解設u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因為-2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

點評如遇到此類的問題，我們在解題的過程中要采用整體的代換方式進行求解。

3。運用整體思想換元

例3設x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角換元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），則x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解較困難，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，從而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知當t=2即x=y=212時，x+y+xy的最大值為112+2。

點評在對二元函數進行求解時，整體思想是最常用的解題方法，一般采用整體換元將二元函數轉化為一元函數進行求解。

4。運用整體思想配方

例4求函數y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此題，我們首先要進行思想的轉換，然后進行整體的配方，最后利用放縮來求解。

我們先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，當且僅當x2+4+11x2+4，即x2=-3時等號成立，顯然這是不可能的。因此，利用均值不等式中的等號成立不能夠求出最小值，我們必須尋找新的解題方法。

注意到x2+4與11x2+4的關系，嘗試整體配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因為41x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，當且僅當x=0時等號成立，故y的最小值是512。

點評本題中整體配方后，就可以視（41x2+4-1141x2+4）2為一個新的整體，通過研究它的最小值，就能達到研究整個函數最小值的目的.因此，在解題中，我們要能夠抓住問題的根本特點，靈活地運用整體思想，才能取得意想不到的效果。

5。運用整體思想求導

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若當x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數t的取值范圍.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

視x+1-2x-t為一個整體，令其為F（x），對F（x）實施整體求導，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因為x∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上單調遞減，F（0）為其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成

數學是一門重在學習解題思路的學科，如何讓學生更好地學習高中數學、掌握解題方法，這就要求教師在教學中能夠巧妙地將整體思想貫穿到教學當中去，向學生明確地展示出得出解題方案的整體思想。

一、總體思想在高中數學解題中的重要作用

整體思想簡單地說，解答數學習題時，暫時忽略局部復雜而模糊的細節，以整體來解題，從而達到求解出問題結論的目的。它是最基本、最常用的的數學思想，在高中數學中是一種重要的解題思想。學生若能靈活掌握整體思想的運用，將會在高中數學的解題中化復雜為簡單，讓難題變為易解題，從而提高學生做題的準確率。

二、整體思想在高中數學解題中的應用實例

一般情況下，整體思想的解題方法往往與換元相結合，首先要對題目進行整體性地觀察，然后根據解題需要判斷是否需要進行整體的變形、換元、配對或者是代入等轉化。需要注意的是，在轉化的過程中要注意一切的運算都要以等價為原則。

1。運用整體思想補式

例1求sin220°+cos225°+sin20°cos50°的值。

解令A= sin220°+cos225°+sin20°cos50°，B= cos220°+ sin225°+cos20°sin50°，則A+B=2+sin70°， ①

A-B=-112-sin70°。②

所以由①+②得A=314，故原式=314。

2。運用整體思想代換

例2已知sinx+siny=212，求cosx+cosy的取值范圍。

解設u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得：

112=sin2x+2sinxsiny+sin2y，（1）

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y。（2）

（1）+（2）得：u2+112=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-312。因為-2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-312≤2，解得-1412≤u≤1412。所以-1412≤cosx+cosy≤1412。

點評如遇到此類的問題，我們在解題的過程中要采用整體的代換方式進行求解。

3。運用整體思想換元

例3設x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值。

解由x，y∈R+，x2+y2=1，首先想到用三角換元，即令x=cosθ，

y=sinθ，θ∈（0，π12），則x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ。

直接求解較困難，于是又令sinθ+cosθ=t（t∈（1，2]）t2=1+2sinθcosθsinθcosθ=t2-112，從而有 x+y+xy=sinθ+cosθ+sinθcosθ=t+t2-112=112t2+t-112=112（t+1）2-1。所以易知當t=2即x=y=212時，x+y+xy的最大值為112+2。

點評在對二元函數進行求解時，整體思想是最常用的解題方法，一般采用整體換元將二元函數轉化為一元函數進行求解。

4。運用整體思想配方

例4求函數y=x2+51x2+4（x∈R）的最小值.

解求解此題，我們首先要進行思想的轉換，然后進行整體的配方，最后利用放縮來求解。

我們先使y=x2+4+11x2+4=x2+4+11x2+4≥2，當且僅當x2+4+11x2+4，即x2=-3時等號成立，顯然這是不可能的。因此，利用均值不等式中的等號成立不能夠求出最小值，我們必須尋找新的解題方法。

注意到x2+4與11x2+4的關系，嘗試整體配方：

y=（41x2+4-1141x2+4）2+2，

因為41x2+4≥2，-1141x2+4≥-212，

所以（41x2+4-1141x2+4）2≥112， 所以y≥112+2=512，當且僅當x=0時等號成立，故y的最小值是512。

點評本題中整體配方后，就可以視（41x2+4-1141x2+4）2為一個新的整體，通過研究它的最小值，就能達到研究整個函數最小值的目的.因此，在解題中，我們要能夠抓住問題的根本特點，靈活地運用整體思想，才能取得意想不到的效果。

5。運用整體思想求導

例5已知f（x）=112lg（x+1），g（x）=lg（2x+t）.若當x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數t的取值范圍.

解f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立。

視x+1-2x-t為一個整體，令其為F（x），對F（x）實施整體求導，得F′（x）=112x+1-2=1-4x+112x2+4。

因為x∈[0，1]，所以F（x）<0，所以F（x）在[0，1]上單調遞減，F（0）為其最大值。于是F（x）≤0在[0，1]上恒成