基于新課標背景下的數學習題配置探究

蔣志學

為了改變教學習題配置的滯后性，走出數學解題教學的低效狀態，有關教育專家紛紛呼吁“解決問題”配置考題，以問題解決為主導，引領學生經過分析、討論將實際問題建成數學模型，再運用數學知識解決問題，從而提高學生的數學應用意識。

一、數學習題的功能

1.知識功能

通過數學習題的練習，使學生獲得基礎的數學知識，形成基本技能，從而主動建構知識體系。

（1）以習題建立新舊知識之間的聯系，讓學生產生新的思考，帶著疑問學習新知。

（2）以習題鞏固知識。概念的掌握離不開形成和同化的過程，鞏固練習能將新的概念納入到已有的認知結構中，形成新的知識網絡。

（3）通過解題了解學生概念、定理、公式的掌握情況，從而調整思路，改變策略，實施更為有效的教學方法。

2.教育功能

（1）思維訓練。

問題是思維活動的載體，學生理解問題、探索問題、轉換問題直至解決問題都離不開有效的思維活動。教師要引導學生準確閱讀習題，理解文本，仔細觀察顯性條件，深入挖掘隱性條件，培養思維的精細性；掌握運算技巧，提高計算準確性，從全方位審視，探尋最佳的解決方案，培養思維的敏捷性；通過知識的類比轉化，將未知的問題、不熟悉的問題轉化為已知的、熟知的問題，培養思維的靈活性。學生不唯上、不唯書，從多角度考慮問題，敢于打破常規，培養思維的創造性。

（2）思想教育。

數學題取材于社會生產和生活實際，通過解題激發學生的學習興趣。挖掘數學題的來龍去脈，尋找多樣化的解決策略，對學生進行辯證唯物主義的滲透和熏陶。

（3）情感培養。

解題的過程不是一帆風順的，往往充滿著曲折艱辛，學生容易受到挫折，教師要激發興趣，引導學生思考、討論，增強解題信心，培養堅韌的意志。

（4）審美功能。

數學之美無處不在，教師要引導學生欣賞、感受數學題的統一、和諧、對稱之美，接受美的熏陶。

3.評價功能

學生的基礎水平和學習能力可以通過解題來檢查和評定，教師可以通過一題多解，評價學生的思維發散能力，還可以通過解決實際問題，評價學生應用數學的意識。

二、數學習題的編制方法

1.演繹法

教師從某一真命題出發，通過邏輯推理、特殊值代入等方法編制數學題。

例1根據不等式

1+112+113+…+11n≥2（n+1-1） （n∈N+），

令2（n+1-1）=20，有n=120，據此得到新題：

證明：1+112+113+…+111016063≥22014。

2.變換法

從題目的已知條件出發，保留原有的數量關系，將問題加以變換，從而得到新題的一種編制方法。

例2求二次函數f（x）=x2+2（2a-1）x+5a2-4a-2在區間[0，1]上最小值g（a）的表達式。

變式一設a為實數，記函數f（x）=a1-x2+1+x+1-x的最大值為g（a）。

①設g（x）=1+x+1-x，求x的取值范圍，并將f（x）表示為t的函數；

②求g（a）；

③試求滿足g（a）=g（11a）的所有實數a。

3.逆推法

教師不再是順著題目給定的條件一步一步地探索結果，而是反其道而行之，從題目的結論出發，逆推出所需條件的一種編制數學習題的方法。如等比數列a1，a2，a3，…，an，…當公比q≠1時，前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1-anq11-q。已知a1，q，n或a1，an，q可求an或n，亦可運用倒推法命題。

例3在等比數列{an}中，已知：a1=1，q=3，Sk=364，求ak。

4.類比法

類比是一個“由此及彼”的分析方法，人們運用某種熟知的事物屬性，推測與之類似的事物的屬性的推理方法，但其結論必須要通過實驗來檢驗。如在同一平面內，兩個邊長都是a的正方形，其中一個正方形的一項點在另一個正方形的中心，則這兩個正方形的重疊部分的面積恒為a214。由此類比新題：

例4在空間內，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個正方體的一頂點在另一個正方體的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積是多少？

5.拓展法

教師從一道基本的題目出發，對題目的數量關系和圖形的形狀位置加以變換，由原選的一道題拓展變化成若干道題，以達到觸類旁通、舉一反三的效果。如有A、B、C三名男生和D、E兩名女生站成一排，如果男生站在一起，有多少種排法？教者通過拓展變換，演變成一系列的題目。

（1）若A站在隊伍的中間，有多少種不同的站法？