合并同類 構建體系

彭玉宏

德國數學家希伯特（David Hilbert）認為：“一個數學概念和現有的網絡由更強或更多的聯系聯結著時，概念才是被徹底地理解了。”在教學中，我們可以把各類相似而又有著緊密聯系的問題“合并同類項”，尋找新舊知識點的聯系。我們可以縱向地“合并同類項”，把具有從屬關系的概念或命題體系歸結在一起，尋找它們之間的關聯；也可以橫向地“合并同類項”，尋找同一層面中的要素之間關聯。這樣，數學知識網絡就豐富而立體，知識與方法進一步整合成一個完整的體系，有助于知識的貯存和提取。

一、數學現象的“合并同類項”，在課堂引入時有意想不到的效果

例如在《對數》新授課時這樣引入：解加法方程3+x=5，有了減法運算；解乘法方程3·x=5，有了除法運算；解指數方程3x=5，于是有了對數運算。這樣既回顧了數學運算的生成歷程，又明確了對數與指數的關系，課堂引入得自然有趣而又緊扣主題。

二、把形式相似的問題“合并同類項”，學生能更好地構建知識網絡，便于找到知識點之間的聯系，促進記憶。

例如：（1）向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），a⊥b，則x1x2+y1y2=0；（2）直線l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2，則A1A2+B1B2=0；（3）以兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）連線為直徑的圓的方程為：（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0。

這三個與垂直相關的命題的結論的形式上很相似，羅列在一起，能幫助學生構建垂直關系的命題體系。

三、把同一解題方法的題目“合并同類項”，即多題一解，便于知識點的提煉升華

1。同一問題情境的題目“合并同類項”

例如（1）求函數y=8x+121x2+2x+3的值域。（2）已知函數y=ax+b1x2+2x+3的值域為[-2，4]，求a，b的值。

這兩道題都是用一元二次方程判別式得出關于y的不等式求出y的范圍，但是第二題中含有了兩個待定系數a、b，兩題放在一起進行比較，讓學生感受數學題從具體直觀到復雜抽象的符號化過程，認識到數字就是符號，符號也相當于數字的辨證關系。

2。同一知識點不同的問題情境的題目“合并同類項”

例如（1）求動點P到兩點A（-1，0）、B（1，0）距離之比為2的點的軌跡方程。（2）△ABC中，AB=2，邊AC、BC長之比為2，求△ABC面積的最大值。（3）已知橢圓y2116+x2112=1的離心率為e，上焦點為F，若點F′與點F關于直線y=312對稱，動點M滿足MF=eMF′，是否存在一個定點A，使點M到點A的距離為定值？若存在，求出定點A的坐標。

第一題是問題的原型，點P的軌跡是一個圓，后面兩題與第一題都是談的同一個問題，但問題情境已經顯得非常陌生。通過這三題的比較分析，讓學生看到題目背景變化的痕跡，領會問題的實質。現在的高考題，有許多題目都偽裝得比較深，繞來繞去的，繞得學生眼花繚亂，因此要在這方面多做歸納，讓學生撥開云霧，透過現象看到問題實質。

四、同一數學思想方法的“合并同類項”，跨度可能比較大，這樣能更好地培養學生聯系地、全面地、運動地看問題的習慣

例如復習基本量法：分式運算113+115=1115（5+3）=8115，1115是基本量；平面向量的基本定理中向量基底是基本量；等差數列{an}問題的運算過程中，以首項a1和公差d為基本量，通項an、前n項和Sn都可以表示成首項a1和公差d的函數關系式；橢圓x21a2+y21b2=1（a>b>0）問題運算中以a，b為基本量；三角函數題中角度的變換以題目條件中的角為基本量。

列舉以上這些運用基本量法的例子，幫助學生領會基本量法的實質作用：指定基本量，其他的量都用基本量的關系式表示，這樣把問題簡化成多項式的化簡或者方程的運算，把問題都轉化成代數運算，以便于駕輕就熟。

通過對問題的分門別類，重新整合，變多、亂、雜為整齊有序，構件比較完整的體系。可以看到，“合并同類項”方法的廣泛運用，不僅僅對思考數學問題有很大的幫助，還有利于使學生養成在社會生活中處理問題時有序思維的習慣，對學生情感、道德、價值觀的培養有著非常積極的意義。的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F1到直線l的距離為23.（1） 求橢圓C的焦距；（2） 如果AF2=2F2B，求橢圓C的方程.

解（1）橢圓C的焦距為4。（過程略）

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意知y1<0，y2>0，直線l的方程y=3（x-2），聯立x21a2+y21b2=1，

y=2（x-2），得（3a2+b2）y2+43b2y-3b4=0，y1+y2=-43b213a2+b2①，y1y2=-3b413a2+b2②。因為AF2=2F2B，所以-y1=2y2 ③。由①②得y=-83b213a2+b2，y2=43b213a2+b2，代入②得3a2+b2=32。又因為c2=a2-b2=4，所以a2=9，b2=5，所以橢圓C的方程的方程為x219+y215=1。

點評設而不求法在圓錐曲線中有著很多的應用。向量的坐標法正好符合這一思路，所以遇到圓錐曲線中的向量問題，可以將向量寫成坐標形式，則問題變得易于求解。