一題多變淺析導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

姜銳軍

導(dǎo)數(shù)的主要作用是研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值，最值以及解決恒成立問題中參數(shù)的范圍問題。下面通過一道常見的習(xí)題及其變形來探究導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

引例已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x2-3x-m。討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出其單調(diào)區(qū)間和極值。

解由f ′（x）=3x2-3=0 得x=±1，解F′（x）>0得x<-1或x>1，解F′（x）<0得-1

如下表所示

x1（-∞，-1）1-11（-1，1）111（1，+∞） y′1 + 101 ―1 01 + y1↗1極大值1↘1極小值1↗ 所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上為增函數(shù)，在（-1，1）上為減函數(shù)。單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）。所以f（x）最大值=f（-1）=2-m，f（x）最小極=f（1）= -2-m。

變式一（1）若方程x3-3x-m=0恰有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍。（2）若方程x3-3x-m=0恰有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍。（3）若方程x3-3x-m=0恰有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍。

分析首先要搞清楚函數(shù)f（x）=x3-3x-m的圖象的大致形狀，再由零點的個數(shù)確定圖象與x軸的位置關(guān)系，從而得到m的范圍。

解法一（1）由引例可知，f（x）的圖象的大致形狀如下圖（1）

若方程恰有兩個零點，即圖象與x軸恰有兩個交點，則x軸恰過其中的一個極值點，如圖（2），所以f（-1）=0或f（1）=0，解得m=±2，所以m的取值為m=-2或m=2。

（2） 若方程恰有三個零點，則兩極值點必在x軸的兩側(cè)，所以f（-1）>0，

f（1）<0，解得-2

（3）若方程恰有一個零點，兩極值點必在x軸的同一側(cè)，所以f（-1）<0或f（1）>0，解得m<-2或m>2，所以m的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）。

解法二可以轉(zhuǎn)化為討論方程x3-3x=m 的解的個數(shù)，即討論曲線y=x3-3x與y=m的交點情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法去解。但仍然要討論函數(shù)y=x3-3x的單調(diào)性和極值以及極值點與直線y=m的位置關(guān)系，同解法一。

變式二已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x3-3x-m，當m=1時，求函數(shù)f（x）在[-2 ， 2]上的最大值和最小值。

分析因為兩極值點在定義域區(qū)間[-2 ， 2]內(nèi)，故先要求出函數(shù)的極值和區(qū)間端點的函數(shù)值，再加以比較確定最值。

解當m=1時，由引例得，f（x）極大值=f（-1）=2-m=1，f（x）極小值=f（1）= -2-m=-3，f（-2）=-3×（-2）3-m=-2-m=-3，f（2）=23-3×2-m=2-m=1，所以函數(shù)f（x）最大值=3，f（x）最小值=-3。

變式三已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x3-3x-m，若f（x）≥0或f（x）≤0在[-2 ， 2]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

分析可直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，也可以先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為新的不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題求解。

解法一若f（x）≥0恒成立，則f（x）最小值≥0，由變式二可得，f（x）最小值=f（-2）=-2-m≥0，解得m≤-2；若f（x）≤0恒成立，則f（x）最大值≤0，即f（x）最大值=f（2） =2-m≤0，解得m≥2。

解法二f（x）≥0恒成立，即x3-3x≥m恒成立，令g（x）=x3-3x， 則m≤g（x）最小值，f（x）≤0恒成立，即x3-3x≤m恒成立，則m≥g（x）最小值，而求函數(shù)g（x）的最值和求f（x）的最值解法完全一樣，略。

式，對零點不是點也就很好理解了。通過類似的擴展訓(xùn)練，學(xué)生不僅能開拓思路、發(fā)散思維，還能將所學(xué)到的知識真正運用起來。

（五）優(yōu)化教學(xué)模式，變直接概念灌輸為側(cè)面迂回的間接揭示

在進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，可以不直接進行概念的灌輸，而是從側(cè)面來引導(dǎo)概念的學(xué)習(xí)，通過反例來幫助學(xué)生了解這一系列概念。例如，在橢圓概念學(xué)習(xí)的時候，學(xué)生常常記為：到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡，這個概念記起來容易，但是真正運用起來卻不是那么簡單。教師在教學(xué)時就可以設(shè)計以下的問題鏈，來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)：1。若平面內(nèi)的動點P到兩定點（-4，0），（4，0）的距離之和為6，那么P的運動軌跡是什么？2。若P到兩定點的距離之和是8的話，那么P的運動軌跡是什么？3。P到兩定點的距離之和是10的時候，P的運動軌跡又有什么樣的表現(xiàn)？通過讓學(xué)生們繪制圖形可以很容易發(fā)現(xiàn)（1）2a<2c，軌跡不存在；（2）2a=2c，軌跡為一條線段；（3）2a>2c，軌跡為橢圓，也就加深了學(xué)生對橢圓概念中“a>c”這一附加條件的理解。學(xué)生只有真正了解概念的本質(zhì)，才能正確運用概念，才能真正達到數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的。

“紙上學(xué)來終覺淺，絕知此事要躬行。”高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在諸多亟待解決的問題。這就需要我們數(shù)學(xué)教育工作者潛心研究教學(xué)對象特點，努力運用更加科學(xué)、合理的教學(xué)方法，積極參與新課改并適時更新我們的教學(xué)模式，從而能夠真正引導(dǎo)學(xué)生更好地進行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，幫助他們建立更加完善的數(shù)學(xué)思維方式，以促進他們的學(xué)習(xí)能力得到快速、全面的提升。