例說數學概念教學與思維品質培養

樂高軍

本文以《異面直線所成的角》為例，從關鍵環節人手，分析認知概念的心理特點，探討科學地進行概念教學的方法和途徑.

一、展示概念背景，培養思維的主動性

思維的主動性，表現為學生對數學充滿熱情，以學習數學為樂趣，在獲得知識時有一種愜意的滿足感.

導引階段：教師與學生一起以熟悉的正方體為例，復習空間兩條直線的位置關系后，請學生觀察圖中的幾對異面直線.教師指出：從位置關系說，同為異面直線，但它們的相對位置，是否就沒有區別？學生回答：有區別.教師緊接著說：既然有區別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對位置顯然是不夠的.在生產實際與數學問題中，有時還需要進一步考慮它們的相對位置.這就給數學提出了一個新任務：怎樣刻劃異面直線間的這種相對位置，或者說，引進一個什么數學量來刻劃這種相對位置.

這樣引入新課，揭示了異面直線所成的角出現的背景，將數學家的思維活動暴露給學生，使學生沉浸于對新知識的期盼、探求的情境之中，積極的思維活動得以觸發.

二、創設求知情境，培養思維的敏捷性

思維的敏捷性表現在思考問題時，以敏銳地感知，迅速提取有效信息，進行“由此思彼”的聯想，果斷、簡捷地解決問題.

情境設計階段：我們知道平面幾何中用數學量“距離”來刻劃兩平行直線間的相對位置，用數學量“角”來刻劃兩相交直線間的相對位置，（教師用棒針比劃追問）那么用什么來刻劃兩異面直線的相對位置呢？揭示課題.

我們還知道兩異面直線不相交，它們又確實存在角度關系，這就需要我們找到一個角以它的大小來度量異面直線所成的角的大小.為了解決這個問題，我們看一道題：

一張紙上畫有兩條能相交的直線a，b（但交點在紙外）.現給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出a，b所成的角的大小？

通過舊知識的遷移探測問題，為新知識的形成開辟通道，進而使新舊知識得到完美的銜接.這對提高學生的數學素養，優化認知結構是非常有益的.

三、精確表述概念，培養思維的準確性

思維的準確性是指思維符合邏輯，判斷準確，概念清晰啟迪。

發現階段：引導學生分析本課開始部分幾對異面直線所成的角，分別可用哪兩條相交直線的角（銳角或直角）來度量.至此，教師讓學生自己來概括得出新概念異面直線所成角的定義，其間，對學生表述上的任何微小缺陷與不當之處，老師應誘導啟發.在正式給出定義時要求語言簡練、準確，符合邏輯性和科學性.

新概念的引進解決了導引中提出的問題.學生自己參與形成和表述概念的過程培養了抽象概括能力.因此，概念教學亦蘊含了豐富的培養能力、訓練思維的素材，教學過程中應充分重視.

四、解剖新概念，培養思維的縝密性

思維的縝密性表現在抓住概念的本質特征，對概念的內涵與外延的關系全面深刻地理解，對數學知識結構的嚴密性和科學性能夠充分認識.

解剖概念階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關系？這里提出的就是定義的合理性（即存在性和確定性問題）.

通過解決以上兩個問題得到：兩異面直線所成角的范圍規定在（0，π12]內，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點O（一線的平行線與另一線的平行線的交點）的選取無關，點O可任選.一般總是將點O選在特殊位置.

這樣引導學生“解剖”定義，使學生看到抽象的數學術語和符號與現實存在的具體事物和現象之間的聯系，了解整個定義的結構，培養了學生思維的縝密性.

至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個過程中滲透了把空間問題轉化為平面問題這一化歸的數學思想方法.

五、運用新概念，培養思維的深刻性

思維的深刻性主要表現在理解能力強，能抓住概念、定理的核心及知識的內在聯系，準確地掌握概念的內涵及使用的條件和范圍.在用概念判別命題的真偽時，能抓住問題的實質；在用概念解題時，能抓住問題的關鍵.

鞏固深化階段：在學生深刻理解數學概念之后，應立即引導學生運用所學概念解決“引入概念”時提出的問題（或其他問題），在運用中鞏固概念.使學生認識到數學概念，既是進一步學習數學的理論基礎，又是進行再認識的工具.如此往復，使學生的學習過程，成為實踐——認識——再實踐——再認識的過程，達到培養思維深刻性的目的.

當然，應用的設計應由易到難，循序漸進，形成梯度，拾級而上，以促進學生思維的合理過渡.

例1求本課開始時的幾對異面直線所成的角及距離.

啟發學生尋求一題多解，不僅可以使所學知識融會貫通，還可使學生掌握多種解題方法，并學會從眾多解法中，優選最佳方法.從而培養思維的靈活性和廣闊性.

例2M，N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中BB1，CC1的中點，求MN與AD所成的角.

思路1：過M點作MG∥BC交CC1于G，MG，MN所成的銳角（或直角）為所求.

思路2：連BC1，則BC與BC1所成的角（銳角或直角）為所求.

思路3：連BC1，AD1，則AD與AD1所成的角（銳角或直角）為所求.

這樣設計至少有兩個好處：其一，加深了學生對概念的理解；其二，再一次激起了學生思維的浪花.

六、分析錯解成因，培養思維的批判性

思維的批判是指思維嚴謹而不疏漏，能準確地辨別和判斷，善于覓錯、糾錯，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動.

深化階段：對數學概念的理解要防止片面性.除在運用概念時，用典型的例子從正面加深對概念的理解、鞏固概念之外，還應針對某些概念的定義中有些關鍵性的字眼不易被學生所理解，容易被忽視；某些概念的條件比較多，學生常顧此失彼，不易全面掌握；某些概念與它的鄰近概念相似，不易區別等等.采用舉反例，從反面來加深學生對概念的內涵與外延的理解，培養思維的批判性.