等差數(shù)列求和方法講解初探

張華成

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，等差數(shù)列作為有通項(xiàng)公式而且應(yīng)用很廣泛的數(shù)列之一來說，對整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)有著很重要的作用。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很重要的一點(diǎn)就在于應(yīng)用。如何使學(xué)生熟練掌握和使用等差數(shù)列求和的公式去解決學(xué)習(xí)中和生活中所遇到的問題，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有著舉足輕重的作用。在這方面，教師要對學(xué)生施以恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理邏輯能力，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)科學(xué)角度思考問題的習(xí)慣，最終使學(xué)生能夠獨(dú)立自主地去解決相應(yīng)的問題。但是說起來容易做起來難，在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生往往在處理等差數(shù)列求和問題的時(shí)候面臨諸多困難，不能很好地運(yùn)用自己所學(xué)的知識去解決實(shí)際中的問題。作為老師，要達(dá)到上述的目的，就需要在以下幾個(gè)方面多下功夫：

第一，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，讓學(xué)生能夠洞察問題的本質(zhì)所在，能夠建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將簡單個(gè)例普遍化。例如，在人教版高中數(shù)學(xué)必修五的第49頁給出了一道例題——2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》。某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 面對這樣一段文字比較冗長的材料，首先考驗(yàn)的就是學(xué)生對于材料信息的整合和提取能力，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生透過繁瑣的文字表達(dá)去發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)所在，找到關(guān)鍵意思，然后理清楚思路。“計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元”這句話就表明了所有的投資數(shù)額組成了一個(gè)公差為50的等差數(shù)列，而題目的要求本質(zhì)上是要求出這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)之和。這樣一來，審清了題意，便很方便展開具體的解題過程了。

第二，鍛煉學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，即在審清楚題意的基礎(chǔ)上，能夠準(zhǔn)確將題目考查的知識點(diǎn)與自身的知識體系相互交叉對比，并快速做出反應(yīng)，對應(yīng)到直接相關(guān)的知識點(diǎn)上。例如，對上述問題的目的要求了解清楚之后，便要將當(dāng)前的具體問題與學(xué)生所學(xué)聯(lián)系起來。在學(xué)生的知識體系里面，關(guān)于等差數(shù)列求和的公式是經(jīng)老師講授過的，如何把當(dāng)前的問題與所學(xué)的公式相互聯(lián)系起來才是真正考查學(xué)生的時(shí)刻。根據(jù)題目不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)等差數(shù)列里面首項(xiàng)a1為500萬，公差d為50萬，項(xiàng)數(shù)n為10的等差數(shù)列，而現(xiàn)在要做的是把這些相關(guān)數(shù)字代入到等差數(shù)列的求和公式中去，這樣根據(jù)各信息就可以輕松得出結(jié)論應(yīng)該為7250萬元。換句話講，在針對具體題目解決問題的時(shí)候，其實(shí)就是提供一個(gè)機(jī)會，讓學(xué)生可以把自己所學(xué)的書本上的知識變成學(xué)生自身知識體系的一部分，把生活中所遇到的相關(guān)問題符號化，從單純個(gè)案中可以抽象出更具有普遍性的符號替代各部分的組織關(guān)系。針對這道題目，就是把文字材料中的具體數(shù)字以及各數(shù)字之間的關(guān)系和課本上所習(xí)得的求和公式之間互相替代。這樣Sn=na1+n（n-1）12d。一方面學(xué)生自身的知識體系得到了完善，另一方面，學(xué)生在面對不同題目的時(shí)候，可以很游刃有余地從題目中抽象出具有普遍性的東西，很大程度上是對學(xué)生個(gè)人數(shù)學(xué)能力的一個(gè)提升。

第三，教育學(xué)生養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，在做完題目之后，把得出的答案重新代入到題目中，看看是不是符合題目條件，也即通過驗(yàn)證來確定自身答案的準(zhǔn)確性，例如，上述題目最終得出的結(jié)果為7250萬元，將此答案重新再代入到題目當(dāng)中，根據(jù)題目的上下意思，不難看出，這個(gè)答案與題目本身的描述并無任何沖突，因而表明此答案為正確答案。一旦得出的結(jié)論和題目本身的表述上存在沖突的話，那就表明該答案不是題目的正確答案，需要學(xué)生再次回到前兩個(gè)部分，再重新完成題目的解答過程。

第四，教師必須在講授的過程中要注意函數(shù)思想在解決等差數(shù)列求和問題中的應(yīng)用。從本質(zhì)上來說，等差數(shù)列求和的過程和解決函數(shù)問題所遵循的原理是一樣的，都是通過已知給定的條件通過與所求的未知因素之間的邏輯關(guān)系，由已知推導(dǎo)出未知的過程。教師在講解等差數(shù)列求和問題的技巧時(shí)，要適當(dāng)引入之前學(xué)生學(xué)過的函數(shù)知識，一方面有利于學(xué)生回顧前面所學(xué)的知識，鞏固學(xué)生的記憶；另一方面能夠幫助學(xué)生更有效地解決當(dāng)前學(xué)習(xí)中所遇到的問題。更根本的，教師可以通過梳理不同知識點(diǎn)之間的關(guān)系，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)本身的邏輯體系，形成更加嚴(yán)謹(jǐn)和開放的數(shù)學(xué)態(tài)度，更加提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并且使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到一個(gè)綜合性的提升。

總之，在講解等差函數(shù)求和知識相關(guān)的習(xí)題時(shí)，教師應(yīng)該盡可能組織與之前所學(xué)知識的聯(lián)系，加強(qiáng)對于學(xué)生抽象思維的鍛煉，使得學(xué)生可以將實(shí)際的問題符號化，能夠更好地解決所遇到的問題。作為高中數(shù)學(xué)老師，如果愿意在這些方面多下功夫，不論對于學(xué)生來講還是對于教師來講，都是一件極有價(jià)值的事情。過程中，必須積極引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，促使他們對相關(guān)知識的基本概念、基本原理、公式、法則和定律具有較深的理解，協(xié)助他們獲得一定的數(shù)學(xué)思維能力，幫助他們獲得一些常用的數(shù)學(xué)解題方法，并讓他們多加練習(xí)以至于不斷深化鞏固，進(jìn)而將所學(xué)方法融會貫通，達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

例如，對于一些從正面難以解答的問題，嘗試通過“反證法”對其進(jìn)行解答，如對于已知a<0，-11，顯然和已經(jīng)條件不相符。即可得到ab2>a。

同樣的道理，假設(shè)ab1，這和已知條件相沖突，故此說明abab2，進(jìn)而得到a

在高中數(shù)學(xué)解題中常用的解題方法，還有“配方法”、“換元法”、“參數(shù)法”、“待定系數(shù)法”等等，引導(dǎo)學(xué)生對這些方法的掌握，可以促使他們獲得良好的數(shù)學(xué)基本技能，有助于幫助他們提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。