例析導數法在高考復習中的嚴謹性的缺失

朱毅

1. “單調性概念理解”的嚴謹性缺失

書本定義：設定義在某區間上的函數y=f（x），如果f ′（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f ′（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減.

理解這正是我們同學用來解決求函數單調區間的依據，但同學們往往忽略了這只是函數在這個區間上單調遞增或遞減的一個充分條件，而并非必要條件.

例1已知函數f（x）=2x3-ax+c在（-∞，+∞）上單調遞增，則（ ）.

A.a<0且c∈R B.a≥0且c∈R

C.a<0且c=0 D.a≤0且c∈R

誤區因為函數在（-∞，+∞）上單調遞增，所以在（-∞，+∞）上f ′（x）=6x2-a>0恒成立，故據二次函數的圖象和性質，Δ<0即a<0，選A答案.

正確分析選D.當a<0時f ′（x）=6x2-0a>0；當a=0時，函數的導函數f ′（x）=6x2≥0，函數在（-∞，+∞）上單調遞增.

2. “求單調區間”嚴謹性的缺失

在求函數的單調區間時，有些老師在教學中“避重就輕”，只注重導函數的值是否為正還是為負，經常忽略強調定義域的重要性，要知道一個單調區間離開了定義域就可能沒有意義.

例2（2010年重慶卷18）已知函數f（x）=x-11x+a+ln（x+1），其中實數a≠-1

（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調性.

解（1）略.

（2）誤解因a≠-1，由（1）知f ′（1）=11a+1+112.

又因為f（x）在x=1處取得極值，所以f ′（1）=0，

即11a+1+11a=0，解得a=-3.

故 f ′（x）=-21（x-3）2+11x+1=（x-1）（x-7）1（x-3）2（x+1）.

由f ′（x）=0可得x1=1，x2=7.

當x<1或x>7時，f ′（x）>0函數增區間為（-∞，1）和

（7，+∞）.

當1

正確分析其實函數的定義域為：（-1，3）∪（3，+∞），所以增區間為（-1，1）和（7，+∞），減區間為（1，7）.

點評《考試說明》在“考試要求”、“考試內容”以及對具體知識的考查中突出了對數學基礎知識的考查.本題作為高考數學第一道解答題，注重通性通法，淡化特殊技巧，強調基礎知識.高考試題中大部分知識點都是老師在平時教學中重點講解的.因此，考生在學習過程中，應從基礎抓起，有深厚的基礎知識功底，才能形成良好的數學思維和數學能力.

3.“求切線方程”時嚴謹性的缺失

利用導數幾何意義求解切線方程，是導數應用的一個重要方面，這部分內容雖然比較淺顯，但由于學生認知能力的局限性，知識結構難免會出現盲點，故而在解題時容易走入誤區，產生“會而不對、對而不全”的現象，形成錯解、漏解.

例3（2009年全國題）已知函數f（x）=x4-3x2+6.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設點P在曲線y=f（x）上，若該曲線在點P處的切線通過原點（0，0），求切線方程.

解（1）略；

（2）誤解

由題意可知f ′（x）=4x3-6x.

因為切線過原點（0，0），所以k=f ′（0）=0，切線方程為： y=0.

正確分析因為原點（0，0）不在曲線上，故不是切點而事實上點P才是切點.

設切點P的坐標為（x0，y0），則y0=x40-3x20+6.

k=f ′（x0）=4x30-6x0=x40-3x20+6-01x0-0，

整理得：x40-x20-2=0，

解之得： x0=±2.

P點坐標為（±2，4）.

故切線方程為：y=22x或y=-22x.

點評 利用導數的幾何意義求函數切線方程時，注意該點是否是切點.機使用技能的高低是新一代評價個人文化素質的標準.計算機信息技術的飛速發展對每個人提出了新的要求，作為教師，更應該積極的推動計算機信息技術的發展，將多媒體信息技術用于教學課堂，這樣利人又利己.

六、將多媒體信息技術融于教學課堂的反思

時代的發展，要求競爭者提高自身素質，也要求學校教育走在發展的最前端，學校教育的發展方向又要求教師更新教學手段.教學手段的更新主要受教育觀念的支配，所以我們首先要轉變教育觀念，真正把信息技術運用到教學中來.把信息技術作為輔助教學的工具，充分發揮信息技術在學生自主學習、主動探索、合作交流等的優勢，良好的實現教師角色的轉變.信息技術在數學教學中的作用不可低估，它在輔助學生認知的功能要勝過以往的任何技術手段.但它僅僅是課堂教學的一個輔助工具.教學活動過程的核心，是師生之間的情感互動交流過程，這個過程信息技術教育是無法取代的.在師生互動的教與學過程中，信息技術已經成為產生數學問題、促進學生思維擴散的路標.不過，我們不能盲目地使用信息技術，用它來取代教師在教學活動中的地位.所以，客觀合理地將多媒體信息技術用于課堂教學，積極探索多媒體信息技術與課堂教學整合方法，才是現代教師在教學活動中應轉變的觀念.