淺析反函數的性質及其應用

王兆友

反函數是高中數學中的一個重要內容，由這個知識點所設計的考題經常出現在各級各類的選拔性考試試卷中.為使同學們能比較深刻地理解反函數的概念和性質，本文分類闡述有關性質，并舉例說明其應用，供參考.

一、定義域與值域

反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域.

例1設f（x）=4x-2x+1（x≥0），則f-1（0）=.

分析因反函數的定義域即為原函數的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，應填入1.

例2單調增函數f（x）滿足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函數f -1（x）的定義域為[11a，41a]，則f（x）的定義域為.

分析令ax+3=t， 則x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因為反函數的定義域即為原函數的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，則4≤x≤7，于是f（x）的定義域為[4，7]，應填入[4，7].

二、原象與象

若函數f（x）存在反函數f-1（x），則有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x屬于值域；f -1[f（x）]=x，x屬于定義域.

例3已知函數f（x）=112（2x-2-x）的反函數為f -1（x），則不等式f -1（x）>1的解集為.

分析由于f（x）為增函數，則有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集為{x|x>314}，即應填入{x|x>314}.

例4設函數f（x）=1-2x11+x的反函數為h（x），又函數g（x）與h（x+1）的圖象關于直線y=x對稱，那么g（2）的值為（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）與h（x+1）互為反函數，設y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），則f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互換x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，應選B.

三、單調性與奇偶性

單調函數的反函數仍為單調函數，且與原函數單調性相同.奇函數若存在反函數，則它的反函數也是奇函數.

例5函數y=112（ex-e-x）的反函數是（ ）.

A.奇函數，它在（0，+∞）上是減函數

B.偶函數，它在（0，+∞）上是減函數

C.奇函數，它在（0，+∞）上是增函數

D.偶函數，它在（0，+∞）上是增函數

分析設y=f（x）， 則f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函數，且易知y=f（x）在區間（0，+∞）上是增函數且函數值y∈（0，+∞）. 則反函數f -1（x）既是奇函數又是單調增函數，故選（C）.

四、對稱性

在同一直角坐標系中，互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱.若點（a，b）在y=f（x）圖象上，則（b，a）在y=f -1（x）圖象上.

例6若點（1，2）在函數y=ax+b的圖象上，又在它的反函數的圖象上，求a，b的值.

分析由點（1，2）在函數y=ax+b的圖象上得2=a+b.又在它的反函數圖象上，則（2，1）在函數y=ax+b的圖象上，得1=2a+b.二式聯立解得a=-3，b=7即為所求.

例7設a>0，且函數f（x）=bx+c12ax+1的反函數圖象過點（-1，2），則關于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有兩個不等的實根B.有兩個相等實根

C.無實根 D.上述三種都有可能

分析由對稱性知（2，-1）在f（x）的圖象上，則-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，則 y=ax2+bx+c過點（2，-1）.又a>0，拋物線開口向上，故方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根，即選（A）.

五、交點問題

同一坐標系內若函數y=f（x）的圖象與其反函數y=f -1（x）的圖象有交點，則交點必在直線y=x上.

例8若函數y=x-a（x≥a）的圖象與其反函數的圖象有公共點，則實數a的取值范圍是.

分析根據性質，知函數y=x-a的圖象必與直線y=x相交，二式聯立得x=x-a，因為x≥a，所以x2-x+a=0.依題意，此方程有實根，則Δ=1-4a≥0，所以a≤114，應填上（-∞，114）.

例9設k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐標系xOy中，函數y=f（x）的圖象與x軸交于A點，它的反函數y=f -1（x）的圖象與y軸交于B點，并且這兩個函數圖象交于P點，已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由題設易知A（1，0），再由對稱性知B（0，1），又P為互為反函數圖象的交點，則可設P（a，a），則S四邊形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又點P在f（x）的圖象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故應選B.

反函數是高中數學中的一個重要內容，由這個知識點所設計的考題經常出現在各級各類的選拔性考試試卷中.為使同學們能比較深刻地理解反函數的概念和性質，本文分類闡述有關性質，并舉例說明其應用，供參考.

一、定義域與值域

反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域.

例1設f（x）=4x-2x+1（x≥0），則f-1（0）=.

分析因反函數的定義域即為原函數的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，應填入1.

例2單調增函數f（x）滿足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函數f -1（x）的定義域為[11a，41a]，則f（x）的定義域為.

分析令ax+3=t， 則x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因為反函數的定義域即為原函數的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，則4≤x≤7，于是f（x）的定義域為[4，7]，應填入[4，7].

二、原象與象

若函數f（x）存在反函數f-1（x），則有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x屬于值域；f -1[f（x）]=x，x屬于定義域.

例3已知函數f（x）=112（2x-2-x）的反函數為f -1（x），則不等式f -1（x）>1的解集為.

分析由于f（x）為增函數，則有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集為{x|x>314}，即應填入{x|x>314}.

例4設函數f（x）=1-2x11+x的反函數為h（x），又函數g（x）與h（x+1）的圖象關于直線y=x對稱，那么g（2）的值為（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）與h（x+1）互為反函數，設y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），則f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互換x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，應選B.

三、單調性與奇偶性

單調函數的反函數仍為單調函數，且與原函數單調性相同.奇函數若存在反函數，則它的反函數也是奇函數.

例5函數y=112（ex-e-x）的反函數是（ ）.

A.奇函數，它在（0，+∞）上是減函數

B.偶函數，它在（0，+∞）上是減函數

C.奇函數，它在（0，+∞）上是增函數

D.偶函數，它在（0，+∞）上是增函數

分析設y=f（x）， 則f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函數，且易知y=f（x）在區間（0，+∞）上是增函數且函數值y∈（0，+∞）. 則反函數f -1（x）既是奇函數又是單調增函數，故選（C）.

四、對稱性

在同一直角坐標系中，互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱.若點（a，b）在y=f（x）圖象上，則（b，a）在y=f -1（x）圖象上.

例6若點（1，2）在函數y=ax+b的圖象上，又在它的反函數的圖象上，求a，b的值.

分析由點（1，2）在函數y=ax+b的圖象上得2=a+b.又在它的反函數圖象上，則（2，1）在函數y=ax+b的圖象上，得1=2a+b.二式聯立解得a=-3，b=7即為所求.

例7設a>0，且函數f（x）=bx+c12ax+1的反函數圖象過點（-1，2），則關于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有兩個不等的實根B.有兩個相等實根

C.無實根 D.上述三種都有可能

分析由對稱性知（2，-1）在f（x）的圖象上，則-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，則 y=ax2+bx+c過點（2，-1）.又a>0，拋物線開口向上，故方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根，即選（A）.

五、交點問題

同一坐標系內若函數y=f（x）的圖象與其反函數y=f -1（x）的圖象有交點，則交點必在直線y=x上.

例8若函數y=x-a（x≥a）的圖象與其反函數的圖象有公共點，則實數a的取值范圍是.

分析根據性質，知函數y=x-a的圖象必與直線y=x相交，二式聯立得x=x-a，因為x≥a，所以x2-x+a=0.依題意，此方程有實根，則Δ=1-4a≥0，所以a≤114，應填上（-∞，114）.

例9設k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐標系xOy中，函數y=f（x）的圖象與x軸交于A點，它的反函數y=f -1（x）的圖象與y軸交于B點，并且這兩個函數圖象交于P點，已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由題設易知A（1，0），再由對稱性知B（0，1），又P為互為反函數圖象的交點，則可設P（a，a），則S四邊形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又點P在f（x）的圖象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故應選B.

反函數是高中數學中的一個重要內容，由這個知識點所設計的考題經常出現在各級各類的選拔性考試試卷中.為使同學們能比較深刻地理解反函數的概念和性質，本文分類闡述有關性質，并舉例說明其應用，供參考.

一、定義域與值域

反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域.

例1設f（x）=4x-2x+1（x≥0），則f-1（0）=.

分析因反函數的定義域即為原函數的值域，故有4x-2x+1=0，即22x=2x+1，得x=1，于是f -1（0）=1，應填入1.

例2單調增函數f（x）滿足f（ax+3）=x（a>0），若f（x）的反函數f -1（x）的定義域為[11a，41a]，則f（x）的定義域為.

分析令ax+3=t， 則x=11a（t-3），即f（x）=11a（x-3）.因為反函數的定義域即為原函數的值域，故有11a≤11a（x-3）≤41a，又a>0，則4≤x≤7，于是f（x）的定義域為[4，7]，應填入[4，7].

二、原象與象

若函數f（x）存在反函數f-1（x），則有f（a）=bf-1（b）=a，因而有f[f -1（x）]=x，x屬于值域；f -1[f（x）]=x，x屬于定義域.

例3已知函數f（x）=112（2x-2-x）的反函數為f -1（x），則不等式f -1（x）>1的解集為.

分析由于f（x）為增函數，則有f[f -1（x）]>f（1），即x>f（1）=112（2-112）=314，故所求解集為{x|x>314}，即應填入{x|x>314}.

例4設函數f（x）=1-2x11+x的反函數為h（x），又函數g（x）與h（x+1）的圖象關于直線y=x對稱，那么g（2）的值為（ ）.

A.-1 B.-2C.-415 D.-215

分析易知g（x）與h（x+1）互為反函數，設y=h（x+1），由于h（x）=f -1（x），則f（y）=f[h（x+1）]=f[f -1（x+1）]=x+1，所以 x=f（y）-1.互換x，y得 y=f（x）-1，即 g（x）=f（x）-1所以g（2）=f（2）-1=-2，應選B.

三、單調性與奇偶性

單調函數的反函數仍為單調函數，且與原函數單調性相同.奇函數若存在反函數，則它的反函數也是奇函數.

例5函數y=112（ex-e-x）的反函數是（ ）.

A.奇函數，它在（0，+∞）上是減函數

B.偶函數，它在（0，+∞）上是減函數

C.奇函數，它在（0，+∞）上是增函數

D.偶函數，它在（0，+∞）上是增函數

分析設y=f（x）， 則f（-x）=112（e-x-ex）=-f（x），即y=f（x）是奇函數，且易知y=f（x）在區間（0，+∞）上是增函數且函數值y∈（0，+∞）. 則反函數f -1（x）既是奇函數又是單調增函數，故選（C）.

四、對稱性

在同一直角坐標系中，互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱.若點（a，b）在y=f（x）圖象上，則（b，a）在y=f -1（x）圖象上.

例6若點（1，2）在函數y=ax+b的圖象上，又在它的反函數的圖象上，求a，b的值.

分析由點（1，2）在函數y=ax+b的圖象上得2=a+b.又在它的反函數圖象上，則（2，1）在函數y=ax+b的圖象上，得1=2a+b.二式聯立解得a=-3，b=7即為所求.

例7設a>0，且函數f（x）=bx+c12ax+1的反函數圖象過點（-1，2），則關于x的方程ax2+bx+c=0（ ）.

A.有兩個不等的實根B.有兩個相等實根

C.無實根 D.上述三種都有可能

分析由對稱性知（2，-1）在f（x）的圖象上，則-1=2b+c14a+1，即4a+2b+c=-1，則 y=ax2+bx+c過點（2，-1）.又a>0，拋物線開口向上，故方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根，即選（A）.

五、交點問題

同一坐標系內若函數y=f（x）的圖象與其反函數y=f -1（x）的圖象有交點，則交點必在直線y=x上.

例8若函數y=x-a（x≥a）的圖象與其反函數的圖象有公共點，則實數a的取值范圍是.

分析根據性質，知函數y=x-a的圖象必與直線y=x相交，二式聯立得x=x-a，因為x≥a，所以x2-x+a=0.依題意，此方程有實根，則Δ=1-4a≥0，所以a≤114，應填上（-∞，114）.

例9設k>1，f（x）=k（x-1）（x∈R）在平面直角坐標系xOy中，函數y=f（x）的圖象與x軸交于A點，它的反函數y=f -1（x）的圖象與y軸交于B點，并且這兩個函數圖象交于P點，已知四邊形OAPB的面積是3，則k等于（ ）.

A.3 B.312 C.413 D.615

分析由題設易知A（1，0），再由對稱性知B（0，1），又P為互為反函數圖象的交點，則可設P（a，a），則S四邊形OPAB=2S△OAP=2·112|OA|·|a|=|a|，所以|a|=3，a±3.又點P在f（x）的圖象上，所以±3=k（±3-1），所以k=312或k=314，又k>1，故應選B.