解析法巧解向量有關問題

陳靜

有關向量數量關系的問題，是一類重要的數學題型，也是歷年高考考查的重點和熱點.其中有些題目，如按常規的向量運算，處理起來會比較抽象、困難，不容易得出正確結果.為了解決這個問題，筆者借助思維轉化的角度，通過建立坐標系，把復雜的向量運算轉化為便于操作的向量的代數運算，使得問題化繁為簡.

一、向量數量積

例1如圖在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中點O為坐標原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，則B（-1，0），C（1，0）.設A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因為BD·AC=312-a212=-112，所以a=2（負值舍去）.從而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐標系xOy中，已知圓：（x-1）2+（y-1）2=4，C為圓心，P為圓上任意一點，求OP·CP的最大值.

解設P（2cosθ+1，2sinθ+1），則OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以OP·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.當θ=2kπ+π14（k∈Z）時，OP·CP取得最大值，最大值為4+22.

點評在向量數量積的問題中，若很難求出相關向量的模及它們之間的夾角，那么這時如果能夠通過建立直角坐標系，把相關點的坐標表示出來，用坐標來研究向量的數量積，則易于求解.

二、向量最值問題

例3如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分別是邊AB，AC上的點，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中點分別為M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N點為坐標原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因為m+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），從而得點E（23n-312，2n），點F（312n，-112n+112），線段EF的中點M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.當n=3121時，|MN|取最小值717.

點評遇到向量最值問題時，可以通過建立坐標系，將向量最值問題轉化為求函數的最值求解.

三、向量含參數問題

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，點C在線段AB上，且∠AOC=30°，設OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m1n= .

解因為OA·OB=0，所以OA⊥OB.以O為原點，直線OA為x軸，直線OB為y軸，建立平面直角坐標系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因為OC=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

點評如果條件中給出的向量式含有參數，那么一個有效的解法就是建立關于參數的方程，把幾何問題代數化，向量問題坐標化.

四、平面幾何中的向量問題

例5若△ABC內接于以O為圓心，以1為半徑的圓，且3OA+4OB+5OC=0，則該△ABC的面積為 .

因為3OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以OA·OB=0，

所以OA⊥OB.以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，建立直角坐標系，則A（1，0），B（0，1）.設C（x，y），因為3OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

點評向量在平面幾何中有很多的應用，如利用向量法去證明正弦定理和余弦定理.平面幾何中的向量問題，若用解析法求解，往往可化復雜的向量運算為簡單的代數運算.

五、圓錐曲線中的向量問題

例6設F1，F2分別為橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同類 構建體系

有關向量數量關系的問題，是一類重要的數學題型，也是歷年高考考查的重點和熱點.其中有些題目，如按常規的向量運算，處理起來會比較抽象、困難，不容易得出正確結果.為了解決這個問題，筆者借助思維轉化的角度，通過建立坐標系，把復雜的向量運算轉化為便于操作的向量的代數運算，使得問題化繁為簡.

一、向量數量積

例1如圖在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中點O為坐標原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，則B（-1，0），C（1，0）.設A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因為BD·AC=312-a212=-112，所以a=2（負值舍去）.從而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐標系xOy中，已知圓：（x-1）2+（y-1）2=4，C為圓心，P為圓上任意一點，求OP·CP的最大值.

解設P（2cosθ+1，2sinθ+1），則OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以OP·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.當θ=2kπ+π14（k∈Z）時，OP·CP取得最大值，最大值為4+22.

點評在向量數量積的問題中，若很難求出相關向量的模及它們之間的夾角，那么這時如果能夠通過建立直角坐標系，把相關點的坐標表示出來，用坐標來研究向量的數量積，則易于求解.

二、向量最值問題

例3如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分別是邊AB，AC上的點，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中點分別為M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N點為坐標原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因為m+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），從而得點E（23n-312，2n），點F（312n，-112n+112），線段EF的中點M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.當n=3121時，|MN|取最小值717.

點評遇到向量最值問題時，可以通過建立坐標系，將向量最值問題轉化為求函數的最值求解.

三、向量含參數問題

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，點C在線段AB上，且∠AOC=30°，設OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m1n= .

解因為OA·OB=0，所以OA⊥OB.以O為原點，直線OA為x軸，直線OB為y軸，建立平面直角坐標系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因為OC=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

點評如果條件中給出的向量式含有參數，那么一個有效的解法就是建立關于參數的方程，把幾何問題代數化，向量問題坐標化.

四、平面幾何中的向量問題

例5若△ABC內接于以O為圓心，以1為半徑的圓，且3OA+4OB+5OC=0，則該△ABC的面積為 .

因為3OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以OA·OB=0，

所以OA⊥OB.以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，建立直角坐標系，則A（1，0），B（0，1）.設C（x，y），因為3OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

點評向量在平面幾何中有很多的應用，如利用向量法去證明正弦定理和余弦定理.平面幾何中的向量問題，若用解析法求解，往往可化復雜的向量運算為簡單的代數運算.

五、圓錐曲線中的向量問題

例6設F1，F2分別為橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同類 構建體系

有關向量數量關系的問題，是一類重要的數學題型，也是歷年高考考查的重點和熱點.其中有些題目，如按常規的向量運算，處理起來會比較抽象、困難，不容易得出正確結果.為了解決這個問題，筆者借助思維轉化的角度，通過建立坐標系，把復雜的向量運算轉化為便于操作的向量的代數運算，使得問題化繁為簡.

一、向量數量積

例1如圖在△ABC中，AB=AC，BC=2，AD=DC，AE=112EB.若BD·AC=-112，求CE·AB的值.

解以BC中點O為坐標原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，則B（-1，0），C（1，0）.設A（0，a）（a>0），由AD=DC，AE=112EB得D（112，a12），E（-113，2a13），BD=（312，a12），AC=（1，-a）.因為BD·AC=312-a212=-112，所以a=2（負值舍去）.從而CE=（-413，413），AB=（-1，-2），CE·AB=-413.

例2在平面直角坐標系xOy中，已知圓：（x-1）2+（y-1）2=4，C為圓心，P為圓上任意一點，求OP·CP的最大值.

解設P（2cosθ+1，2sinθ+1），則OP=（2cosθ+1，2sinθ+1），CP=（2cosθ，2sinθ），所以OP·CP=4cos2θ+2cosθ+4sin2θ+2sinθ=4+22cos（θ-π14）.當θ=2kπ+π14（k∈Z）時，OP·CP取得最大值，最大值為4+22.

點評在向量數量積的問題中，若很難求出相關向量的模及它們之間的夾角，那么這時如果能夠通過建立直角坐標系，把相關點的坐標表示出來，用坐標來研究向量的數量積，則易于求解.

二、向量最值問題

例3如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分別是邊AB，AC上的點，且AE=mAB，AF=nAC，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中點分別為M，N且m+4n=1，求|MN|的最小值.

解以N點為坐標原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，由AB=AC=1，A=120°得N（0，0），A（0，112），B（-312，0），C（312，0），故AF=nAC=（312n，-112n），AE=mAB=（-312m，-112m）.因為m+4n=1，所以AE=（23n-312，2n-112），從而得點E（23n-312，2n），點F（312n，-112n+112），線段EF的中點M（5314n-312，314n+114）.所以|MN|=（5312n-312）2+（3n14+114）2=11221n2-6n+1.當n=3121時，|MN|取最小值717.

點評遇到向量最值問題時，可以通過建立坐標系，將向量最值問題轉化為求函數的最值求解.

三、向量含參數問題

例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA·OB=0，點C在線段AB上，且∠AOC=30°，設OC=mOA+nOB（m，n∈R），則m1n= .

解因為OA·OB=0，所以OA⊥OB.以O為原點，直線OA為x軸，直線OB為y軸，建立平面直角坐標系.由|OA|=1，|OB|=3，∠AOC=30°得A（1，0），B（0，3），C（314，314）.因為OC=mOA+nOB（m，n∈R），所以（314， 314）=m（1，0）+n（0，3），所以m=314，n=114，所以m1n=3.

點評如果條件中給出的向量式含有參數，那么一個有效的解法就是建立關于參數的方程，把幾何問題代數化，向量問題坐標化.

四、平面幾何中的向量問題

例5若△ABC內接于以O為圓心，以1為半徑的圓，且3OA+4OB+5OC=0，則該△ABC的面積為 .

因為3OA+4OB+5OC=0，所以（3OA+4OB）2=（-5OC）2，所以9+16+24OA·OB=25，所以OA·OB=0，

所以OA⊥OB.以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，建立直角坐標系，則A（1，0），B（0，1）.設C（x，y），因為3OA+4OB+5OC=0，所以3（1，0）+4（0，1）+5（x，y）=0，所以x=-315，y=-415.所以S=S△OAB+SOBC+SOAC=112+112×315+112×415=615.

點評向量在平面幾何中有很多的應用，如利用向量法去證明正弦定理和余弦定理.平面幾何中的向量問題，若用解析法求解，往往可化復雜的向量運算為簡單的代數運算.

五、圓錐曲線中的向量問題

例6設F1，F2分別為橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）

合并同類 構建體系