借助導(dǎo)數(shù)，巧用函數(shù)性質(zhì)證明不等式

溫湖南

不等式證明是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)之一.不等式的種類繁多，證明的方法也難易懸殊，使用的技巧各異，盡管教材中對不等式的證明給出了系統(tǒng)的總結(jié)，但是有很多不等式，我們還是較難快速簡潔地證明它.特別是有些不等式，如果用常用的初等方法去證明，我們會感到無從下手.這時(shí)如果我們?nèi)绻麑⑺鱾€(gè)恒等變形，使它轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的函數(shù)不等式，再借助導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來證明，往往會事半功倍.

一、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在不等式證明中也扮演著重要的角色.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，關(guān)鍵在于合理利用題設(shè)條件，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，并將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，通過對函數(shù)單調(diào)性的討論，從而使問題得到圓滿解決.

1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定理：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若f ′（x）>0（<0），則f（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格遞增（遞減）

2.函數(shù)單調(diào)性在不等式證明中的應(yīng)用

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式是不等式證明中一種較為有效的方法，其基本步驟為：

（1）移項(xiàng)或作簡單的恒等變形，使不等式的一端為零，另一端設(shè)為輔助函數(shù)f（x），此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為證明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分別確定f（x）的增區(qū)間和減區(qū)間.

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)處的函數(shù)值或極限值即可證明原不等式.

例1當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，證明不等式sinx

證明設(shè)f（x）=sinx-x，則f ′（x）=cosx-1.

因?yàn)閤∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）內(nèi)單調(diào)遞減.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，sinx

點(diǎn)評一般地，證明f（x）

例2已知：a>b>0，求證：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式變形為lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.觀察不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-1+11x（x>1），從而問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0.

證明把不等式變形為lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

從而問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)x>1時(shí)， f（x）>0.

因?yàn)閒 ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x>1時(shí)， f（x）>f（1）.

又因?yàn)?f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命題成立，即：若a>b>0，則lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函數(shù)凹凸性證明不等式

有些不等式利用函數(shù)的凹凸性可以很簡潔、巧妙地得到證明.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造出能夠解決問題的函數(shù).

1.函數(shù)凹凸性

定義：設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是（a，b）上的凹函數(shù)；如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是f（a，b）上的凸函數(shù).

2.函數(shù)凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定理：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).如果f ″（x）>0在（a，b）內(nèi)恒成立，則稱f（x）是區(qū)間[a，b]上的凹函數(shù)；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）內(nèi)恒成立，則稱f（x）是區(qū)間[a，b]上的凸函數(shù).

3.函數(shù)凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

證明：令f（x）=tanx，則f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因?yàn)?

所以f ″（x）>0，所以f（x）的圖象在（0，π12）內(nèi)是凹的，

從而對x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以當(dāng)02tanx+y12成立.

不等式證明是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)之一.不等式的種類繁多，證明的方法也難易懸殊，使用的技巧各異，盡管教材中對不等式的證明給出了系統(tǒng)的總結(jié)，但是有很多不等式，我們還是較難快速簡潔地證明它.特別是有些不等式，如果用常用的初等方法去證明，我們會感到無從下手.這時(shí)如果我們?nèi)绻麑⑺鱾€(gè)恒等變形，使它轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的函數(shù)不等式，再借助導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來證明，往往會事半功倍.

一、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在不等式證明中也扮演著重要的角色.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，關(guān)鍵在于合理利用題設(shè)條件，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，并將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，通過對函數(shù)單調(diào)性的討論，從而使問題得到圓滿解決.

1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定理：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若f ′（x）>0（<0），則f（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格遞增（遞減）

2.函數(shù)單調(diào)性在不等式證明中的應(yīng)用

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式是不等式證明中一種較為有效的方法，其基本步驟為：

（1）移項(xiàng)或作簡單的恒等變形，使不等式的一端為零，另一端設(shè)為輔助函數(shù)f（x），此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為證明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分別確定f（x）的增區(qū)間和減區(qū)間.

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)處的函數(shù)值或極限值即可證明原不等式.

例1當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，證明不等式sinx

證明設(shè)f（x）=sinx-x，則f ′（x）=cosx-1.

因?yàn)閤∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）內(nèi)單調(diào)遞減.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，sinx

點(diǎn)評一般地，證明f（x）

例2已知：a>b>0，求證：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式變形為lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.觀察不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-1+11x（x>1），從而問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0.

證明把不等式變形為lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

從而問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)x>1時(shí)， f（x）>0.

因?yàn)閒 ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x>1時(shí)， f（x）>f（1）.

又因?yàn)?f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命題成立，即：若a>b>0，則lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函數(shù)凹凸性證明不等式

有些不等式利用函數(shù)的凹凸性可以很簡潔、巧妙地得到證明.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造出能夠解決問題的函數(shù).

1.函數(shù)凹凸性

定義：設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是（a，b）上的凹函數(shù)；如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是f（a，b）上的凸函數(shù).

2.函數(shù)凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定理：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).如果f ″（x）>0在（a，b）內(nèi)恒成立，則稱f（x）是區(qū)間[a，b]上的凹函數(shù)；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）內(nèi)恒成立，則稱f（x）是區(qū)間[a，b]上的凸函數(shù).

3.函數(shù)凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

證明：令f（x）=tanx，則f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因?yàn)?

所以f ″（x）>0，所以f（x）的圖象在（0，π12）內(nèi)是凹的，

從而對x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以當(dāng)02tanx+y12成立.

不等式證明是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)之一.不等式的種類繁多，證明的方法也難易懸殊，使用的技巧各異，盡管教材中對不等式的證明給出了系統(tǒng)的總結(jié)，但是有很多不等式，我們還是較難快速簡潔地證明它.特別是有些不等式，如果用常用的初等方法去證明，我們會感到無從下手.這時(shí)如果我們?nèi)绻麑⑺鱾€(gè)恒等變形，使它轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的函數(shù)不等式，再借助導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來證明，往往會事半功倍.

一、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在不等式證明中也扮演著重要的角色.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，關(guān)鍵在于合理利用題設(shè)條件，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，并將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，通過對函數(shù)單調(diào)性的討論，從而使問題得到圓滿解決.

1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定理：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若f ′（x）>0（<0），則f（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格遞增（遞減）

2.函數(shù)單調(diào)性在不等式證明中的應(yīng)用

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式是不等式證明中一種較為有效的方法，其基本步驟為：

（1）移項(xiàng)或作簡單的恒等變形，使不等式的一端為零，另一端設(shè)為輔助函數(shù)f（x），此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為證明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分別確定f（x）的增區(qū)間和減區(qū)間.

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)處的函數(shù)值或極限值即可證明原不等式.

例1當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，證明不等式sinx

證明設(shè)f（x）=sinx-x，則f ′（x）=cosx-1.

因?yàn)閤∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）內(nèi)單調(diào)遞減.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，sinx

點(diǎn)評一般地，證明f（x）

例2已知：a>b>0，求證：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式變形為lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.觀察不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-1+11x（x>1），從而問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0.

證明把不等式變形為lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

從而問題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)x>1時(shí)， f（x）>0.

因?yàn)閒 ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x>1時(shí)， f（x）>f（1）.

又因?yàn)?f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命題成立，即：若a>b>0，則lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函數(shù)凹凸性證明不等式

有些不等式利用函數(shù)的凹凸性可以很簡潔、巧妙地得到證明.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造出能夠解決問題的函數(shù).

1.函數(shù)凹凸性

定義：設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是（a，b）上的凹函數(shù)；如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是f（a，b）上的凸函數(shù).

2.函數(shù)凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定理：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).如果f ″（x）>0在（a，b）內(nèi)恒成立，則稱f（x）是區(qū)間[a，b]上的凹函數(shù)；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）內(nèi)恒成立，則稱f（x）是區(qū)間[a，b]上的凸函數(shù).

3.函數(shù)凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

證明：令f（x）=tanx，則f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因?yàn)?

所以f ″（x）>0，所以f（x）的圖象在（0，π12）內(nèi)是凹的，

從而對x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以當(dāng)02tanx+y12成立.