立足于平實，讓思維靈動

商阿妮

著名數學教育家波利亞曾說過：在數學教學中首要任務就是加強解題訓練；掌握數學就意味著善于解題.數學教學中需要通過解題來復習和鞏固新知識，所以解題不僅指學生能將所學數學知識簡單的應用到習題中去，并強調程序性的練習，還要通過數學的思考產生新的解題方法，主要是強調思維方法與過程.

在高考中直線與直線、直線與圓、直線與圓錐曲線相交問題占有非常重要的分量，往往需要求解出直線方程.如何求出直線方程要尋求解法，并要找出快速求出正解的方法，不同條件下解法也有不同.

《南方鳳凰臺》江蘇版一輪配套檢測與評估上有這么一道經典題目：

引例過點P（3，0）的直線l，被兩條直線l1∶2x-y-2=0和l2∶x+y+3=0所截得的線段恰好被點P所平分，求直線l的方程.

已知直線上一點確定直線，一般可以再找直線上另一點來確定，或用此點和該直線的斜率來確定.

解法一對于確定直線l與l1或l2的一個交點有三種大同小異的求法，設l與l1、l2分別交于點A、B，以求得點A坐標為例：

法（1），可設l與l1交于點A（a，b），由點P平分所截得的線段AB，運用點的對稱關系得到點B（6-a，-b），再將A、B兩點坐標分別代入直線l1與l2方程中解出方程組的解，從而得到點A坐標（1113，1613）.

法（2），可以比（1）早代入，由l與l1的交點A在直線l1上，可以設A（x1，2x1-2），由于關于點P的對稱點B為（6-x1，2-2x1）在直線l2上，得到A點坐標，運用代入法較晚即常說的轉化代入法，即可得到直線方程.

法（3），利用兩點分別在直線l1與l2上，可設A（x1，2x1-2）、B（x2，-x2，-3），然后運用線段AB中點P（3，0），運用中點坐標公式求得x1，進而得到A.

前三者都是確定另一點的做法，確定直線AP即所求直線，進而運用點斜式或兩點式亦或斜截式得到直線l方程.

解法二由題意和圖形可知直線l的斜率存在，可用點斜式表示設l方程為y=k（x-3），l分別與l1和l2聯立并代入得到點A和點B橫坐標用k表示的形式，由中點橫坐標公式求得斜率k，即可得到直線l方程為8x-y-24=0.

一、有對應關系條件的題型求直線方程時可用“代入法”.

例1已知直線l：y=3x+3，求

（1）直線l關于點M（3，2）對稱的直線l′的方程；

（2）直線l關于直線x+y+2=0對稱的直線l′的方程.

解（1）設A′（x，y）是所求直線l′上任一點，

因為A′（x，y）關于M（3，2）的對稱點A（6-x，4-y）在直線l上，

所以4-y=3（6-x）+3，即得Sn-2Sn-1+213=4（Sn-1-2Sn-2+213）

=…=4n-2（S2-2S1+213）

=3213×4n-2

=213×4n，

所以3Sn-6Sn-1+2=2×4n，n=2，3，…. ②

由2×②-3×①，

整理得

Sn=113×4n-1-2n+1+213，n=2，3，….

該式對n=1也成立，從而得

an=114（3Sn+2n+1-2），

即an=4n-2n，n=1，2，3，….

三、注重數學習題訓練的質量，培養學生歸納、總結的能力

在高三數學的復習過程中，決定復習效率的關鍵是數學習題訓練的質量，即在于數學習題的質量以及學生處理數學習題的水平.因此，在高三數學復習的過程中，數學習題的選擇要注意一定的難度，不要讓學生耗費精力在只有運用技巧才能解答的“偏題、怪題、奇題”上，而應該引導學生在解題的 “穩”、“實”上狠下功夫，提高數學解題的質量與效率.同時要注意強化習題訓練的收效，要讓學生在完成了一道數學題目之后做到“知其然并知其所以然”，對學生進行通性、通法的訓練，這樣才能保證學生高考得分的概率.教師一定要讓學生意識到對數學習題進行歸納、總結、思考的收益遠遠大于忙碌的進行數學解題.對于一種類型的題目，運用同一種技巧解答的題目，學生要學會在解題的基礎上進行總結，學會舉一反三，融會貫通，這樣才是數學解題的精髓所在.

四、結束語

總之，高三數學的復習具有難度大、時間緊的特點，因此迫切需要教師尋找出切合學生發展的復習模式，在有限的時間里提高高中數學復習的效果，讓學生在嚴峻的高考中立于不敗之地.這就需要高中數學教師在數學總復習中將數學基礎知識系統化，讓學生將基礎知識弄懂、弄透徹，在此基礎之上再有針對性的給學生布置練習題對知識加以鞏固，最后讓學生對數學習題進行總結、歸納.提升學生數學解題的效果，只有這樣才能搞好高三數學的復習，讓學生在數學高考復習中取得佳績.所以直線l′的方程為3x-y-17=0.

（2）設A′（x，y）是所求直線l′上任一點，

因為A′（x，y）關于x+y+2=0的對稱點A（-y-2，-x-2）在直線l上，

所以-x-2=3（-y-2）+3，

所以直線l′的方程為x-3y-1=0.

雖然解題時可以先求所求直線上的兩點，但是在有對稱關系等對應關系的此類題目中用代入法較快，往往先由關系進行轉化再代入的解決方法更加快捷.

二、已知直線上一點的坐標時往往采用“斜參法”

已知直線上一點的坐標時往往利用斜率將直線表示為點斜式來解決，當然解題過程中需要先考慮斜率是否存在，以保證思維的嚴謹縝密.

例2已知圓C∶（x-1）2+（y-2）2=2，求過點P（2，-1）的圓C的切線方程.

分析先由圖象可知（點在圓外）圓C的切線的斜率存在，然后設點斜式方程，進而運用（法1）“幾何法”：d=r或者（法2）“代數法”：直線方程代入圓方程得到Δ=0，解之得到斜率為7或-1，最后代入得到切線方程.

例3若過點P（2，1）的直線l與拋物線y2=4x交于A，B兩點，且OP=112（OA+OB），則直線l的方程是.

分析由題意知P為相交弦AB的中點，設A（x1，y1）、B（x2，y2）.

解法一由圖形知l的斜率k存在，可設點斜式方程，代入拋物線方程化為x表示的方程后由韋達定理得x1+x2=4k2-2k+41k2，又由中點坐標公式得x1+x2=4k2-2k+41k2，等量代換后解得k=2，進而得到直線l的方程是2x-y-3=0.

解法二將A，B兩點坐標分別代入拋物線方程，作差可得（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），又有y1+y2=2，可得y2-y11x2-x1=2，即直線l的斜率是2，進而得到直線l的方程.

解法二為直線與拋物線相交弦的中點相關條件得到直線方程的做法.

已知直線與圓錐曲線相交弦的中點求直線方程時多用“點差法”.

如果遇到直線與圓錐曲線相交線段或弦的中點相關問題用“點差法”明顯會快捷，易算很多.

如南通市2013屆高三第一次調研測試第19題

例4已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，2313）.過點P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD.設M，N分別為線段AB，CD的中點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若P為線段AB的中點，求k1；

（3）若k1+k2=1，求證直線AB恒過定點，并求出定點坐標.

此題第一問外兩問實質都要求直線AB斜率或方程.

分析第一問由題知焦點在x軸上，定下橢圓標準方程形式x21a2+y21b2=1（a>b>0）.（法1）可用橢圓定義先求得a=3，進而得到b2=2.（法2）點E（1，2313）代入橢圓方程，又由c=1和a2=b2+c2得到a2和b2.得到橢圓標準方程為x213+y212=1.

（2）解設A（x1，y1），B（x2，y2），則

x2113+y2112=1， ①

x2213+y2212=1. ②

②-①，得（x2-x1）（x2+x1）13+（y2-y1）（y2+y1）12=0.

所以，k1=y2-y11x2-x1=-2（x2+x1）13（y2+y1）=-4xP16yP=-213.

（3）解依題設， k1≠k2.

設M（xM，yM），直線AB的方程為y-1=k1（x-1），即y=k1x+（1-k1），即y=k1x+k2，代入橢圓方程并化簡得

（2+3k21）x2+6k1k2x+3k22-6=0.

于是，xM=-3k1k212+3k21 ，yM=2k212+3k21.

同理，xN=-3k1k212+3k22，yN=2k112+3k22.

當k1·k2≠0時，直線MN的斜率k=yM-yN1xM-xN=4+6（k22+k2k1+k21）1-9k2k1（k2+k1）=10-6k2k11-9k2k1.

直線MN的方程為y-2k212+3k21=10-6k2k11-9k2k1（x--3k1k212+3k21），

即y=10-6k2k11-9k2k1x+（10-6k2k11-9k2k1·3k1k212+3k21+2k212+3k21），

亦即y=10-6k2k11-9k2k1x-213.

此時直線過定點（0，-213）.當k1·k2=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點（0，-213）.

綜上，直線MN恒過定點，且坐標為（0，-213）.

雖然在第（2）問解決問題時也可以同（3）運用“斜參法”，但是運算相對繁雜很多.所以在解決問題時，要根據題意選擇快捷的方法來解決.而后進行反思，選擇適當的方法解決題目，或者選擇自己熟悉又能快速求得正解的方法.

在數學教學中，解題教學的地位極其重要，教師對解題教學的正確引導不僅能幫助學生透過一個題目的表象認識其本質，而且有利于學生養成良好的思考習慣.要多角度、全方位地分析問題，尋找一題多解，可以幫助學生拓寬解題思路，增強知識聯系，權衡解法優劣，進行比較、歸納、總結，快速聯想到位并迅速建立自己的思路.在解題后反思同一道題目的多種解法，培養學生思維的廣闊性，讓學生在更高層次富有創造性地去學習、摸索、總結，有利于提高學生深層次思維的構建，會讓學生的思維靈動起來，有助于學生數學知識的儲備和數學思維的提升.

分析先由圖象可知（點在圓外）圓C的切線的斜率存在，然后設點斜式方程，進而運用（法1）“幾何法”：d=r或者（法2）“代數法”：直線方程代入圓方程得到Δ=0，解之得到斜率為7或-1，最后代入得到切線方程.

例3若過點P（2，1）的直線l與拋物線y2=4x交于A，B兩點，且OP=112（OA+OB），則直線l的方程是.

分析由題意知P為相交弦AB的中點，設A（x1，y1）、B（x2，y2）.

解法一由圖形知l的斜率k存在，可設點斜式方程，代入拋物線方程化為x表示的方程后由韋達定理得x1+x2=4k2-2k+41k2，又由中點坐標公式得x1+x2=4k2-2k+41k2，等量代換后解得k=2，進而得到直線l的方程是2x-y-3=0.

解法二將A，B兩點坐標分別代入拋物線方程，作差可得（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），又有y1+y2=2，可得y2-y11x2-x1=2，即直線l的斜率是2，進而得到直線l的方程.

解法二為直線與拋物線相交弦的中點相關條件得到直線方程的做法.

已知直線與圓錐曲線相交弦的中點求直線方程時多用“點差法”.

如果遇到直線與圓錐曲線相交線段或弦的中點相關問題用“點差法”明顯會快捷，易算很多.

如南通市2013屆高三第一次調研測試第19題

例4已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，2313）.過點P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD.設M，N分別為線段AB，CD的中點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若P為線段AB的中點，求k1；

（3）若k1+k2=1，求證直線AB恒過定點，并求出定點坐標.

此題第一問外兩問實質都要求直線AB斜率或方程.

分析第一問由題知焦點在x軸上，定下橢圓標準方程形式x21a2+y21b2=1（a>b>0）.（法1）可用橢圓定義先求得a=3，進而得到b2=2.（法2）點E（1，2313）代入橢圓方程，又由c=1和a2=b2+c2得到a2和b2.得到橢圓標準方程為x213+y212=1.

（2）解設A（x1，y1），B（x2，y2），則

x2113+y2112=1， ①

x2213+y2212=1. ②

②-①，得（x2-x1）（x2+x1）13+（y2-y1）（y2+y1）12=0.

所以，k1=y2-y11x2-x1=-2（x2+x1）13（y2+y1）=-4xP16yP=-213.

（3）解依題設， k1≠k2.

設M（xM，yM），直線AB的方程為y-1=k1（x-1），即y=k1x+（1-k1），即y=k1x+k2，代入橢圓方程并化簡得

（2+3k21）x2+6k1k2x+3k22-6=0.

于是，xM=-3k1k212+3k21 ，yM=2k212+3k21.

同理，xN=-3k1k212+3k22，yN=2k112+3k22.

當k1·k2≠0時，直線MN的斜率k=yM-yN1xM-xN=4+6（k22+k2k1+k21）1-9k2k1（k2+k1）=10-6k2k11-9k2k1.

直線MN的方程為y-2k212+3k21=10-6k2k11-9k2k1（x--3k1k212+3k21），

即y=10-6k2k11-9k2k1x+（10-6k2k11-9k2k1·3k1k212+3k21+2k212+3k21），

亦即y=10-6k2k11-9k2k1x-213.

此時直線過定點（0，-213）.當k1·k2=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點（0，-213）.

綜上，直線MN恒過定點，且坐標為（0，-213）.

雖然在第（2）問解決問題時也可以同（3）運用“斜參法”，但是運算相對繁雜很多.所以在解決問題時，要根據題意選擇快捷的方法來解決.而后進行反思，選擇適當的方法解決題目，或者選擇自己熟悉又能快速求得正解的方法.

在數學教學中，解題教學的地位極其重要，教師對解題教學的正確引導不僅能幫助學生透過一個題目的表象認識其本質，而且有利于學生養成良好的思考習慣.要多角度、全方位地分析問題，尋找一題多解，可以幫助學生拓寬解題思路，增強知識聯系，權衡解法優劣，進行比較、歸納、總結，快速聯想到位并迅速建立自己的思路.在解題后反思同一道題目的多種解法，培養學生思維的廣闊性，讓學生在更高層次富有創造性地去學習、摸索、總結，有利于提高學生深層次思維的構建，會讓學生的思維靈動起來，有助于學生數學知識的儲備和數學思維的提升.

分析先由圖象可知（點在圓外）圓C的切線的斜率存在，然后設點斜式方程，進而運用（法1）“幾何法”：d=r或者（法2）“代數法”：直線方程代入圓方程得到Δ=0，解之得到斜率為7或-1，最后代入得到切線方程.

例3若過點P（2，1）的直線l與拋物線y2=4x交于A，B兩點，且OP=112（OA+OB），則直線l的方程是.

分析由題意知P為相交弦AB的中點，設A（x1，y1）、B（x2，y2）.

解法一由圖形知l的斜率k存在，可設點斜式方程，代入拋物線方程化為x表示的方程后由韋達定理得x1+x2=4k2-2k+41k2，又由中點坐標公式得x1+x2=4k2-2k+41k2，等量代換后解得k=2，進而得到直線l的方程是2x-y-3=0.

解法二將A，B兩點坐標分別代入拋物線方程，作差可得（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），又有y1+y2=2，可得y2-y11x2-x1=2，即直線l的斜率是2，進而得到直線l的方程.

解法二為直線與拋物線相交弦的中點相關條件得到直線方程的做法.

已知直線與圓錐曲線相交弦的中點求直線方程時多用“點差法”.

如果遇到直線與圓錐曲線相交線段或弦的中點相關問題用“點差法”明顯會快捷，易算很多.

如南通市2013屆高三第一次調研測試第19題

例4已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，2313）.過點P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD.設M，N分別為線段AB，CD的中點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若P為線段AB的中點，求k1；

（3）若k1+k2=1，求證直線AB恒過定點，并求出定點坐標.

此題第一問外兩問實質都要求直線AB斜率或方程.

分析第一問由題知焦點在x軸上，定下橢圓標準方程形式x21a2+y21b2=1（a>b>0）.（法1）可用橢圓定義先求得a=3，進而得到b2=2.（法2）點E（1，2313）代入橢圓方程，又由c=1和a2=b2+c2得到a2和b2.得到橢圓標準方程為x213+y212=1.

（2）解設A（x1，y1），B（x2，y2），則

x2113+y2112=1， ①

x2213+y2212=1. ②

②-①，得（x2-x1）（x2+x1）13+（y2-y1）（y2+y1）12=0.

所以，k1=y2-y11x2-x1=-2（x2+x1）13（y2+y1）=-4xP16yP=-213.

（3）解依題設， k1≠k2.

設M（xM，yM），直線AB的方程為y-1=k1（x-1），即y=k1x+（1-k1），即y=k1x+k2，代入橢圓方程并化簡得

（2+3k21）x2+6k1k2x+3k22-6=0.

于是，xM=-3k1k212+3k21 ，yM=2k212+3k21.

同理，xN=-3k1k212+3k22，yN=2k112+3k22.

當k1·k2≠0時，直線MN的斜率k=yM-yN1xM-xN=4+6（k22+k2k1+k21）1-9k2k1（k2+k1）=10-6k2k11-9k2k1.

直線MN的方程為y-2k212+3k21=10-6k2k11-9k2k1（x--3k1k212+3k21），

即y=10-6k2k11-9k2k1x+（10-6k2k11-9k2k1·3k1k212+3k21+2k212+3k21），

亦即y=10-6k2k11-9k2k1x-213.

此時直線過定點（0，-213）.當k1·k2=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點（0，-213）.

綜上，直線MN恒過定點，且坐標為（0，-213）.

雖然在第（2）問解決問題時也可以同（3）運用“斜參法”，但是運算相對繁雜很多.所以在解決問題時，要根據題意選擇快捷的方法來解決.而后進行反思，選擇適當的方法解決題目，或者選擇自己熟悉又能快速求得正解的方法.

在數學教學中，解題教學的地位極其重要，教師對解題教學的正確引導不僅能幫助學生透過一個題目的表象認識其本質，而且有利于學生養成良好的思考習慣.要多角度、全方位地分析問題，尋找一題多解，可以幫助學生拓寬解題思路，增強知識聯系，權衡解法優劣，進行比較、歸納、總結，快速聯想到位并迅速建立自己的思路.在解題后反思同一道題目的多種解法，培養學生思維的廣闊性，讓學生在更高層次富有創造性地去學習、摸索、總結，有利于提高學生深層次思維的構建，會讓學生的思維靈動起來，有助于學生數學知識的儲備和數學思維的提升.