例談超級畫板在中學數學教學中的應用*

◆侯小華 宮凡玉

作者：侯小華，魯東大學數學與統計科學學院講師，研究方向為數學教育信息技術與教師教育；宮凡玉，魯東大學數學與統計科學學院全日制教育碩士（264025）。

數學具有的抽象性特點決定了學生在數學學習中要面對更多的理解和認知困難。將信息技術應用于數學教學則有可能在一定程度上降低這種困難。這種可能性的實現取決于教師所選擇的信息技術種類。雖然美國2005—2007年的一項調查研究得出“信息技術無助于提高學生的學習成績”的結論[1]，但是之所以會有這種結論，很有可能是在信息技術工具的選擇和應用上出現偏差，尤其是沒有深入考慮數學學科的特殊性。超級畫板作為一款我國自主開發設計的動態幾何軟件，具有許多“各行各業都能用的普適信息技術”和“各學科都能用的普適教育技術”所缺少的數學學科性。

本文以超級畫板為例，通過幾個例子，談一下服務學科教學的信息技術在中學數學教學中的應用價值。

1 提供直觀感知，優化知識形成

要化解數學學習抽象性所造成的學習困難，將抽象內容直觀化無疑是一個好的方法。數學的思想方法都是經過數學家的歸納概括抽象而成，教材中呈現的都是最終的結果，體現的是一種“冰冷的美麗”。數學教師的教學所要做的就應該是創造條件，讓學生再次經歷知識（包含數學的思想和方法）的形成，以此促成學生學習過程中的“火熱的思考”。

如在教學全等三角形時，通常教師是首先給出一些圖片讓學生觀察，引導學生發現如果將它們疊在一起它們就能重合，從而得出結論：兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形。以上教學設計的實施并沒有對學生理解全等圖形的概念有不利的影響，但學生失去一個了解圖形能夠重合的變化過程，即缺少了過程性體驗，也不利于后續形成有效的“數學化”。

圖1

如圖1 所示，使用超級畫板軟件制作的課件可以“化靜為動”，通過對“平移”“旋轉”“折疊”等變換過程的觀察，學生“看”到兩個圖形能夠重合。這里通過讓圖形自己說話，讓學生通過自己的觀察、討論、總結來得到結論，往往要比觀察靜止圖片的效果更好。此外，通過超級畫板軟件的直觀演示，有利于學生深入理解全等圖形的本質特征，并為今后學習全等圖形的證明打下良好基礎。

教師應該在全等三角形的教學中有意識地滲透“對應”的思想。而“對應”是一個比較抽象的概念，學生往往難以一步到位地完全理解和掌握。這種情況下，教師就可以充分發揮信息技術的優勢，制作課件幫助學生理解這一概念。圖2 是為介紹“對應”而設計的一個課件片段。教師點擊動畫按鈕就可以使綠色的三角形慢慢移動到藍色三角形的位置，從而在動態演示中幫助學生認識什么是“對應”。除了動畫演示外，還可以通過拖動變量尺的滑條慢慢呈現變化過程，有意識地提示學生分別從邊、角等方面進行觀察總結，進而思考得到結論。以此體現新課程所倡導的讓學生經歷過程性體驗的理念和要求。

再比如，初一的學生在遇到判斷“前面帶負號的數一定是負數嗎”這個問題時，由于在小學階段遇到的主要是具體的數，而到了初中開始出現用字母表示數，過去的學習經驗和思維水平的局限導致部分學生在判斷時出錯。為了化解這個學習的難點，數學教師可以使用超級畫板制作“-a 一定是負數嗎”的課件，如圖3 所示。首先測量出數軸上的任意一點a 的橫坐標，修改測量文本的顯示為紅色的“a= ”，然后作出數軸上與這個點關于原點對稱的點-a并測量其橫坐標，再修改測量文本顯示綠色的為“-a= ”。當拖動紅色的點a 不斷改變其值時，會發現a 與-a 的關系，從而讓學生理解了“-”的意義，也讓他們了解到a 代表的數可能是正數、負數、零，應該分類考慮[2]。

圖2

圖3

中學數學教學中要特別重視數學思想方法的教學，而且數學思想方法的教學應該體現在每一堂課和每一個數學問題的研究解決中。在解決上面“前面帶負號的數是負數”問題時就體現了分類討論的思想。但是，學生對這一思想的認識可能需要不斷地深化。因此，課后還可將問題進行延伸，讓學生自主探索a 與1/a、a 與2a 之間的大小關系。這樣既鞏固了知識和思想方法的掌握，又培養了學生的問題探究意識和能力。

中學數學里有些內容在過去是說不清的，如一張紙對折30 次后有多厚？這個問題很多時候被用來讓學生受到震撼，以此說明經驗的局限性。但230具體有多大，許多人并不了解。實際上這個問題屬于數學的指數增長問題，它的很重要的一個意義在于幫助學生理解指數的爆炸性增長。沒有計算機工具，人們可以用估算的方式得到近似數，但是使用超級畫板，中學數學中面對的一切計算問題就都不再是問題了。與此問題相關的是比較31000和10003的大小。圖4 所示是在超級畫板中分別計算的31000和10003的結果。運算結果的呈現，學生可以立馬從觀察結果上領會“爆炸性”的意義，誰大誰小也顯而易見。

圖4

2 顯示變化，消除疑惑

現實中，不僅是學生，一些中學數學教師也對數學中的一些問題心存疑惑。這些問題的形成有的與教材的編寫有關，如中學數學教材中有許多規定，弄清這些規定的合理性并不是簡單的事情。另一方面，有些問題與數學教學的工具有關。

如初中學習繪制二次函數圖像時，為什么在描出五點后用“光滑的曲線”將這些點連接起來？如果利用直線段連接就無法做出二次函數的圖形嗎？由于二次函數圖像是由無窮多個點組成的，而這無窮多個點組成的圖像事實上是一條光滑的曲線拋物線，所以在五點作圖時要用光滑的曲線連接。這里應該是先有“二次函數的圖像是光滑的拋物線”，然后才有“用光滑曲線連接五個點”。傳統教室里，教師用黑板、粉筆授課時用光滑曲線連接的合理性正在于此，而不是一個必須的規定。

圖5

其實只要描點足夠多，即使用直線段連接仍然可以做出二次函數的比較準確的圖像。圖5、圖6 所示課件可用來說明“用光滑曲線連接”的合理性和正確性。圖5 是在（-3，3）區間上描9 個點后用直線段連接這些點作出的y=x2圖像，圖6 則是（-3，3）區間上描100 個點后用直線段連接這些點作出的y=x2圖像。從兩個圖像中一方面可以看出描點數的多少對函數圖像準確性的影響，另一方面也可以看到哪怕是點之間用直線段連接，只要描點足夠多，一樣可以做出“準確”的二次函數圖像，從而幫助學生加深對“函數圖像實際上是點的集合”的認識。

圖6

3 模擬實驗，深化理解

概率是典型的源于生活和經驗的科學，它有利于培養學生的隨機意識，幫助學生理解偶然性和必然性的關系。中學數學教材中列舉了轉盤和蒲豐投針實驗。這些內容緊密聯系生活情境，無論是對于激發學生的數學學習興趣，還是幫助他們加深對概率的認識，都有幫助。利用信息技術制作課件模擬這些實驗，不僅可以將需要反復操作的實驗簡單化，而且能夠多次重復。通過增加實驗重復次數還能使實驗結果更趨穩定和準確。

利用超級畫板來模擬概率實驗具有方便靈活的優點。比如在轉盤實驗的課件中（圖7），除了在實驗時可以讓指針隨機停止以外，還可以通過修改相關參數來調整指針轉動的速度，而常規情況下用硬紙板制成的教具很難實現這個效果。通過建立動畫和統計表格的關聯，超級畫板在實驗的過程中還能夠自動記錄下實驗的相關數據。如圖8 是超級畫板資源庫中的投針試驗課件，通過這個課件可以找到π 的近似值。

圖7

圖8

通過上面超級畫板在初中數學教學中的幾個應用案例，不難發現合理使用信息技術可以有效地提高教學效率，激發學生數學學習的興趣，化解數學學習中的疑惑，促進數學課堂教學方式和學生學習方式的轉變。

信息技術與中學數學整合的途徑和方法是多樣的，其效果也是某些傳統教學手段難以比擬的。教師應在發揮傳統教學優勢的前提下，積極探索信息技術與數學課程的有效整合，以求提高數學教學的效率。

[1]張景中,彭翕成.數學教育技術[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]李傳中,左傳波.超級畫板范例教程[M].北京:科學出版社,2004.