重視合情推理發展推理能力

黃寧宇

《多邊形的面積》是人教版數學五年級上冊的教學內容，它屬于“圖形與幾何”領域的重要內容。“圖形與幾何”板塊的最重要教學目標之一就是發展空間觀念和發展推理能力。2011版《小學數學新課標》中更明確指出：推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，那怎樣發展學生的推理能力呢？在教學實踐中，我做了一些嘗試和探索。

剛講完《梯形的面積》時，我出示了下題：一塊梯形田地的下底是35米，上底是25米，面積是1080平方米，這塊田地的高是多少米？本來我是想以梯形的面積公式為等量關系式列方程解答的。誰知，剛一出示這題，一只小手就高高地舉起，于是我就請這名學生到黑板上書寫。下面是他的解答過程：h=2S÷（a+b）=2×1080÷（25+35）=

2160÷60=36（米）。等下面的學生基本上做好了后，我問這位學生：這個公式老師又沒教過，你是怎么想到這樣來求梯形的高呢？該生回答：三角形的面積公式是S=ah÷2，要除以2。梯形的面積公式是S=（a+b）h÷2，也要除以2。老師在前面還講過了求三角形的高可以用公式h=2S÷a，所以我就猜想出用公式h=2S÷（a+b）來求梯形的高。我一聽，心中驚喜不已：學生竟然能從三角形和梯形面積公式的相同之處，由已知的求三角形的高的公式合情地推理出未知的求梯形高的公式，多強的推理能力啊！我連忙追問：你能不能具體推導出這個公式？或者你能夠用別的方法來驗證用這個公式求出來的高對不對呢？該生說：我還可以列方程解答，設這塊田地的高是x米，根據梯形的面積公式可列方程（25+35）x÷2=1080，60x÷2=1080，x=36，求出來的高也是36米。我說：“你用兩種方法求出來的高都是36米，說明你前面猜想的公式是完全對的。你真了不起，能觸類旁通，合情地推理！”在上面的教學中，我非常重視合情推理能力的培養，即使學生的這些合情推理是錯誤的，“錯誤也是一種學習資源”。而且我認為，合情推理和演繹推理功能不同，它們相輔相成。

班上還有兩個學生也是這樣列式的，但他們都不能具體推導出這個公式。看來，學生是“心有所感觸而苦于口不能言”，不知“其所以然”。于是我干脆改變原來的教學計劃，引導學生探究平行四邊形、三角形、梯形的面積公式之間的內在聯系，幫助學生構建完整的知識體系。

我先在黑板上畫好了方格圖，在方格圖中畫了一個上底2厘米，下底4厘米，高4厘米的梯形，再畫了一個上底1厘米，下底5厘米，高4厘米的梯形。我問：這兩個梯形之間有什么相同的地方？學生通過觀察和計算可以發現兩個梯形的高和面積都相等。我又問：第一個梯形的上底縮短1厘米，把這1厘米補到下底上，就變成了第二個梯形，它的面積沒有變是因為什么沒有變？大部分學生發現高相等的梯形，如果上底和下底的和不變，那么面積也不變。我指著第二個梯形問：如果再把上底縮短1厘米，還把這1厘米補到下底上，那上底變成什么？整個圖形變成什么？它的面積又是多少？在學生思考、想象和交流后，我邊畫圖邊歸納：這時梯形的上底消失了，變成了一個點，圖形由梯形變成了三角形，而且三角形的底就等于原梯形上底和下底的和，高就是原梯形的高，所以三角形的面積會等于梯形的面積。我再次追問：在高相等時，什么情況下三角形的面積會等于梯形的面積？對照后兩個圖形及三角形面積公式S=ah÷2、梯形面積公式S=（a+b）h÷2，學生紛紛發言，說：只要三角形的底會等于梯形上底和下底的和，面積就會相等。我趁機又問：那三角形可以看做是上底為幾的梯形？也就是梯形的上底是幾時，梯形的面積公式和三角形的面積公式可以合二為一，相互通用？經過上面的學習和思考交流，學生很自然地想到三角形可以看做是上底為0的特殊梯形，這樣兩個面積公式實質上就可以用一個公式S=（a+b）h÷2來表示。因此，求三角形高的公式h=2S÷a也就是求梯形高的公式h=2S÷（a+b）的特殊情形，兩者實質上也是同一個公式。所以，上面那位學生的猜想是完全對的，他是從特殊推向一般！

那梯形與平行四邊形的面積公式之間又有什么關系呢？同樣一個上底2厘米，下底4厘米，高4厘米的梯形，把下底的1厘米移補到上底，那上底就與下底相等，都是3厘米，梯形就變成了一個平行四邊形。從上面的學習可知，梯形的面積會等于平行四邊形的面積，也就是說平行四邊形的面積其實也可以用（上底+下底）×高÷2來計算，特別是平行四邊形的上底等于下底，（上底+下底）÷2就等于底，而高不變，即S=（a+b）h÷2=（a+b）÷2×h=ah，而S=ah就是平行四邊形的面積公式。因此，平行四邊形的面積和梯形的面積都可以用S=（a+b）h÷2來計算。

這樣，平行四邊形、三角形、梯形的面積公式都可以用S=（a+b）h÷2來表示，而長方形和正方形都是特殊的平行四邊形，自然它們的面積都可以像梯形一樣，用S=（a+b）h÷2來計算。在這節課中，我將這些零散而又相關的知識梳理成結構化的知識體系，豐富了學生的認知，促進知識的遷移，培養了學生的推理能力，發展了學生的思維。

總之，在課堂教學中我們要重視合情推理，培養學生在解決問題中直觀地、合情地獲得一些結果的意識，切實提高學生的推理能力。因為這是數學創造的根本，是得到新結果的主要途徑。

（作者單位：江西省金溪縣實驗小學）