如何用坐標方法解決幾何問題

摘 要：平面幾何中有關證明、計算等問題，除能運用平面幾何的知識解決以外，還能運用坐標方法來解決，將幾何問題轉化為代數問題，滲透了數形結合和轉化的數學思想。

關鍵詞：坐標法運用

平面幾何中有關證明、計算等問題，除能運用平面幾何的知識去解決以外，還可以根據數形結合的思想，通過建立直角坐標系，將平面圖形置于平面直角坐標系中，先用坐標和方程表示相應的幾何元素：點、線、圓，將幾何問題轉化為代數問題；然后通過代數運算解決代數問題；最后解釋代數運算結果的幾何意義，得到幾何問題的結論，這就是用坐標方法解決平面幾何問題的“三部曲”：

第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題。

第二步：通過代數運算，解決代數問題。

第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論。

下面試舉幾例加以說明

例1：已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半。

分析：如圖，選擇互相垂直的兩條對角線所在的直線為坐標軸，本題關鍵是求出圓心O′的坐標，過O′作AC的垂線，垂足為M，M是AC的中點，垂足M的橫坐標與O′的橫坐標一致。同樣的方法可以求出O′的縱坐標。

證明：如圖，以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA，DB所在直線分別為x軸、y軸，建立直角坐標系，設A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）.

過四邊形ABCD外接圓的圓心O′分別作AC、BD、AD的垂線，垂足分別為M、N、E，則M、N、E分別是線段AC、BD、AD的中點。由線段的中點坐標公式，得：

xO′=xM=a+c2，yO′=yN=b+d2，xE=a2，yE=d2

所以 |O′E|=（a2+c2-a2）2+（b2+d2-d2）2=12b2+c2

又 |BC|=b2+c2

所以，|O′E|=12|BC|

因此，如果內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，那么圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半。①

例2：證明：直角三角形斜邊的中點到三個頂點的距離相等。

證明：如圖，以直角三角形ABC的直角頂點C為坐標原點，兩條直角邊CB，CA所在的直線為x軸、y軸，建立直角坐標系，有C（0，1），設B（a，0），A（0，b）

根據線段中點坐標公式可得D（a2，b2）

|DC|=（a2）2+（b2）2=12a2+b2

|AD|=（a2-0）2+（b2-b）2=12a2+b2

|DB|=（a2-a）2+（b2-0）2=12a2+b2

所以有：|DC|=|AD|=|DB|

因此，直角三角形斜邊的中點到三個頂點的距離相等。

例3：證明三角形兩邊中點所連線段平行于第三邊且等于第三邊的一半。

證明：如圖，以ΔABC中頂點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，設B（a，0），C（b，c）

根據中點坐標公式可得D（b2，c2），E（a+b2，c2），由于D、E兩點縱坐標相同，所以DE平行x軸。

|DE|=（a+b2-b2）2+（c2-c2）2=a24=a2

|AB|=a

所以|DE|=12|AB|，

因此，三角形兩邊中點所連線段平行于第三邊且等于第三邊的一半。

綜上，用坐標方法解決幾何問題，其基本步驟概括為

第一步：建立直角坐標系，用坐標表示有關的量

第二步：進行有關代數運算

第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何關系

總之，平面幾何中有關證明、計算等問題，除能運用平面幾何的知識解決以外，還能運用坐標方法來解決，將幾何問題轉化為代數問題，滲透了數形結合和轉化的數學思想。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書人教A版數學必修2第131頁例5.