關于定積分不等式的證法探悉

摘 要 本文討論、研究了利用定積分定義，性質，定積分計算，初等不等式，泰勒公式，構造變限積分函數，中值定理，被積函數相關性態，二重積分和柯西—施瓦茨不等式等方法來證明積分不定式；并加以例題分析，闡述運用這些方法時的基本思路和解題技巧。

關鍵詞 定積分 不等式 證明

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A

About the Proof Method of Definite Integral Inequality

ZHANG Di

（College of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）

Abstract This article discusses the use of the definite integral definition， nature， definite integral calculation， elementary inequality， Taylor formula， structural change limit integral function， the mean value theorem， the plot function-related behavior， double integrals and Cauchy - Schwarz inequality integration and other methods to prove the infinitive； analyze and make examples to explain the basic ideas and problem-solving skills when using these methods.

Key words definite integral； inequality； proof

0 引言

定積分不等式證明是高等數學的重點和難點，下面通過例題分析，來探討在定積分不等式證明過程中的基本思路、技巧和方法。

1 利用定積分定義證明不等式

例1 設函數 （）在區間[0，1]上連續，且單調遞減。證明：當0<<1時，有

（）≥ （）。

證明由題意知函數 （）在區間[0，1]上連續，故在區間[0，]上可積，將區間[0，]等分，且取各區間右端點 = = ，則

（） = （） = （）。同理將區間[0，1]等分，且取各區間右端點 = = ，則 （） = （） = （），故 （） = （）。因函數 （）在區間（，）內單調遞減，又當0<<1時，有<，所以， （）≥ （）。于是當0<<1時，有 （） （） = [ （） （）]≥0。綜上命題得證。

2 利用定積分性質證明不等式

例2 設函數 （）的一階導函數在區間[0，1]上連續，且 （0） = （1） = 0，求證：∣ （）∣≤∣（）∣。

證明：對 （0，1），有

其中點（0，），（，1），由積分的絕對值不等式性質得

∣ （）∣= ∣[（）（）] + [ （）（）]∣

≤ ∣[（）（）]∣ +∣[（）（）]∣≤

∣（）∣ + ∣ （）（）∣≤

∣（）∣[ + （）]

= ∣（）∣[ + ]。

所以，∣ （）∣≤∣（）∣[ + ]，當 = 時，即得上述結論。

3 利用定積分計算方法證明不等式

例3 證明函數 （） = 是一正常數。

證法一：由題意知函數 （） 是以2為周期的周期函數，故 （） = = 。

故 （）是一常值函數，且 （） = （0）= 。令 = + ，則 = = ，令（） = （） = ≥0，[0，]，故函數（）在區間[0，]上是不恒為零的非負連續函數。所以， （） = （0）= + = （） >0。

綜上命題得證。

證法二：由題意知函數 （）是關于的變上限積分函數，故

（） = = 0。

所以，函數 （）是一常值函數，令（） = ≥0，[0，2]，故（）在區間[0，]上是不恒為零的非負連續函數，故 >0 ，由分部積分得 （） = （0）= = + = +1>0。

即函數 （）是一正常數。

4 利用初等不等式來證明積分不等式