關于定積分不等式的證法探悉

摘 要 本文討論、研究了利用定積分定義，性質，定積分計算，初等不等式，泰勒公式，構造變限積分函數，中值定理，被積函數相關性態，二重積分和柯西—施瓦茨不等式等方法來證明積分不定式；并加以例題分析，闡述運用這些方法時的基本思路和解題技巧。

關鍵詞 定積分 不等式 證明

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A

About the Proof Method of Definite Integral Inequality

ZHANG Di

（College of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）

Abstract This article discusses the use of the definite integral definition， nature， definite integral calculation， elementary inequality， Taylor formula， structural change limit integral function， the mean value theorem， the plot function-related behavior， double integrals and Cauchy - Schwarz inequality integration and other methods to prove the infinitive； analyze and make examples to explain the basic ideas and problem-solving skills when using these methods.

Key words definite integral； inequality； proof

0 引言

定積分不等式證明是高等數學的重點和難點，下面通過例題分析，來探討在定積分不等式證明過程中的基本思路、技巧和方法。

1 利用定積分定義證明不等式

例1 設函數 （）在區間[0，1]上連續，且單調遞減。證明：當0<<1時，有

（）≥ （）。

證明由題意知函數 （）在區間[0，1]上連續，故在區間[0，]上可積，將區間[0，]等分，且取各區間右端點 = = ，則

（） = （） = （）。同理將區間[0，1]等分，且取各區間右端點 = = ，則 （） = （） = （），故 （） = （）。因函數 （）在區間（，）內單調遞減，又當0<<1時，有<，所以， （）≥ （）。于是當0<<1時，有 （） （） = [ （） （）]≥0。綜上命題得證。

2 利用定積分性質證明不等式

例2 設函數 （）的一階導函數在區間[0，1]上連續，且 （0） = （1） = 0，求證：∣ （）∣≤∣（）∣。

證明：對 （0，1），有

其中點（0，），（，1），由積分的絕對值不等式性質得

∣ （）∣= ∣[（）（）] + [ （）（）]∣

≤ ∣[（）（）]∣ +∣[（）（）]∣≤

∣（）∣ + ∣ （）（）∣≤

∣（）∣[ + （）]

= ∣（）∣[ + ]。

所以，∣ （）∣≤∣（）∣[ + ]，當 = 時，即得上述結論。

3 利用定積分計算方法證明不等式

例3 證明函數 （） = 是一正常數。

證法一：由題意知函數 （） 是以2為周期的周期函數，故 （） = = 。

故 （）是一常值函數，且 （） = （0）= 。令 = + ，則 = = ，令（） = （） = ≥0，[0，]，故函數（）在區間[0，]上是不恒為零的非負連續函數。所以， （） = （0）= + = （） >0。

綜上命題得證。

證法二：由題意知函數 （）是關于的變上限積分函數，故

（） = = 0。

所以，函數 （）是一常值函數，令（） = ≥0，[0，2]，故（）在區間[0，]上是不恒為零的非負連續函數，故 >0 ，由分部積分得 （） = （0）= = + = +1>0。

即函數 （）是一正常數。

4 利用初等不等式來證明積分不等式

例4 設 （）是區間[]上的連續函數，且滿足0<≤ （）≤，證明： （） ≤。

證明因函數 （）在區間[]上連續，且0<≤ （）≤，故

= （） + （ + ）≤0，即 （） + ≤ + ，（*），對（*）式兩邊同時定積分得

（） + ≤（ + ）。 （1）

由初等不等式 + ≥，知

+

≥2 ， （2）

由（1），（2）式經平方代入恒等變形得

（） ≤。

5 利用泰勒公式證明不等式

例5 設函數 （）在區間[0，2]上有二階連續導數，且 （1）= 0，記 = ∣（）∣，證明：∣ （）∣≤。

證明：將 （）在 = 1處展開為一階帶有拉格朗日余項的泰勒公式，得 （）= （1）+ （1） （） + （），（*），其中介于與1之間，對（*）式兩邊同時取定積分得

（） = （1）（） + （）

= （）。

所以，∣ （）∣= ∣（）∣

≤ = 。即上述結論得證。

6 利用構造變限積分函數證明不等式

例6 設函數 （）在區間[0，1]上連續，且單調遞減，試證明：當（0，1）時有 （）≥ （）。

證明構造變限積分函數（）= （） （），（0，1），因 （）是區間[0，1]上連續函數，又由積分中值定理知（） = （），其中（0，1）。故（） = （） （） = （） （），且當（0，）時，（）≥0，當[，1）時，（）≤0，故函數（）在區間（0，）單調增，在區間[，1）單調減，又（0） = （1） = 0，所以（）在區間[0，1]上最小值為0，故（） = （） （）≥0， （0，1），綜上命題得證。

7 利用中值定理證明不等式

例7 設函數 （）在區間[0，1]上連續，且單調遞減，試證明：當（0，1）時有 （）≥ （）。

證明：因 （）在區間[0，1]上連續，故由積分中值定理知存在點、，其中（0，），（，1），使得

（） （） = （1） （） （）

= （1） （）（1） （） = （1）[ （） （）]。

又因函數 （）在區間[0，1]上單調遞減，所以， （）≥ （），故當（0，1）時，有（1）[ （） （）]≥0，即上述結論得證。

8 利用函數凹凸性（幾何特性）證明不等式

例8 設函數 （）在區間[]上有二階導數，且（）>0，證明 （）≤[ （） + （）]。

證明：由題意知（）>0，故 （）是區間[]上凹函數，直線與函數 （）的圖象交于，兩點且（， （）），（， （）），弦位于 （）圖象的上方。

弦所在直線方程為（） = （） + （）。綜上知當[]時，有（）≥ （），故

（）<（） = （） + （），（*），（）。

對（*）式兩邊同時定積分得

（）< （）（） + （）

= [ （） + （）]。

9 利用被即函數在積分區間上相關性質證明不等式

例9 對 [0，+），證明：

（） ≤。

證明：令（）= （） ，顯然（）是關于的變上限積分函數，則（） = （） 。①當[0，1）時，（） ≥ 0； ②當[1，+）時，（）≤0，故由①②知函數（）在區間[0，1）上單調遞增，在區間[1，+）上單調遞減，因而（）在 = 1處取得極大值（1）且也是最大值。又知當[0，+）時，有≤。所以，對 [0，+），有（） = （）≤（1） = （）≤（） = 。

10 利用二重積分證明不等式

例10 （柯西—施瓦茨不等式）若函數 （）與 （）在區間[]上連續，則 ≤ （） （）。

證明：令 = ， = （） （），設是平面區域 = {（）∣≤≤，≤≤}，只需證明≤即可。又知定積分與積分變量無關，所以，

= · = ·

= （）（） （）（）。

= （）（） = （）·（） =

（）（） = （）·（） = （）（）

故由上述得

= [（）（） +（）（）]

= [（）（） + （）（）]。

由初等不定式[ + ]≥得

[（）（） +（）（）]≥ （）（） （）（）

故由二重積分性質得

[（）（） +（）（）] ≥

（）（） （）（）。

即≥所以，上述結論成立。

11 利用柯西—施瓦茨不等式證明不等式

例11 若函數 （）在區間[]上可導，且導函數（）連續， （）= 0，則（）≤。

證明：由題意知（）在區間[]上連續， （）= 0，故由牛頓—萊布尼茨公式得 （）= （），[]，令（）= ≤，對上式兩邊同時定積分，則

= （）≤（），故由柯西—施瓦茨不等式得（）= ≤≤（），（*）對（*）式兩邊同時定積分得

（）≤（） = 。

12 結束語

定積分不等式是微分學中一類重要不等式，而且有著廣泛的應用，積分不等式證明方法多樣且靈活多變，方法性、技巧性、綜合性較強；文章歸納、總結了積分不等式證明的一些基本方法和技巧，有利于加深對積分不等式的理解，化抽象為直觀，有力地提高了證明不等式的應用能力。