淺談幾何基本圖形的建模思想

平面幾何是研究圖形性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科，識(shí)圖是學(xué)習(xí)幾何的基本功，正確地從一般圖形中分解出基本圖形正是這種基本功的體現(xiàn)．一般說(shuō)來(lái)，幾何定理和一些典型例習(xí)題給出的圖形屬于基本圖形，識(shí)圖的目的實(shí)際上就是創(chuàng)造條件實(shí)現(xiàn)使一般圖形向基本圖形的轉(zhuǎn)化．在這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程中，基本圖形的“模型”功能調(diào)控著大腦，并驅(qū)使大腦完成圖形的分解與構(gòu)造，以實(shí)現(xiàn)圖形和結(jié)論的統(tǒng)一，最終完成轉(zhuǎn)化．因此，可以想象，幫助學(xué)生建立“模型”，利用 “模型”創(chuàng)立“模式”，能極大限度地發(fā)揮學(xué)生思維定式的優(yōu)勢(shì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性．同時(shí)，也增強(qiáng)了解題的透明度，有利于問(wèn)題的解決．

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者也深深地體會(huì)到加強(qiáng)對(duì)基本圖形的全方位透視，教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和挖掘基本圖形的思想方法，重視并發(fā)揮其“模型”的數(shù)學(xué)功能，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的能力是十分重要的．現(xiàn)以“平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理”的教學(xué)為例，談?wù)勛约涸谶@方面的一些淺薄之見(jiàn)．

一、從定理中析出基本圖形，建立“模型”，加強(qiáng)對(duì)“模型”特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)

定理所給出的圖形，稱(chēng)之為“三線(xiàn)越二線(xiàn)圖”（如圖１），在學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)該圖進(jìn)行細(xì)致剖析，找出對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，剔除非本質(zhì)的東西，最后析出基本圖形.（１）Ｅ型圖（圖ａ）．特點(diǎn)：有公共上底的兩個(gè)拼合梯形ＡＣＦＤ，形似大寫(xiě)“Ｅ” ．（２）Ａ型圖（圖ｂ）．特點(diǎn)：有一公共角的兩個(gè)拼合三角形ＡＣＦ，且ＢＥ∥ＣＦ，形似大寫(xiě)“Ａ”．（３）Ｘ型圖（圖ｃ）．特點(diǎn)：對(duì)頂三角形ＡＢＤ和ＣＢＦ，且ＤＡ∥ＦＣ，形似大寫(xiě)“Ｘ”．三線(xiàn)越二線(xiàn)圖模型要求將這些基本圖形和其結(jié)論作為“模型”儲(chǔ)存到大腦之中，為提高學(xué)生對(duì)圖形的感知覺(jué)方面的敏銳性打下良好的基礎(chǔ)．

二、利用基本圖形“模型”作用，培養(yǎng)學(xué)生善于在較復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、尋找和挑選出三種基本圖形的能力

Ｅ型圖、Ａ型圖和Ｘ型圖，應(yīng)用十分廣泛，特別是后兩種，無(wú)論是三角形內(nèi)、外角平分線(xiàn)性質(zhì)定理，還是相似三角形的各種判定定理和性質(zhì)定理，都以這兩種基本圖形作為模型進(jìn)行推理．所以，要求學(xué)生必須從思想上重視這兩種基本圖形的存在. 還要有—種“模型”與“基本圖形”相互對(duì)應(yīng)的強(qiáng)烈意識(shí)感，只有這種意識(shí)感，才能產(chǎn)生一種內(nèi)驅(qū)力，完成基本圖形的發(fā)現(xiàn)、尋找和挑選工作．

同時(shí)，還要讓學(xué)生意識(shí)到，在實(shí)際題目中，往往出現(xiàn)的是某種圖形的變式或多種圖形的組合，所以要善于對(duì)較為復(fù)雜的圖形學(xué)會(huì)分解識(shí)圖，舍去混淆視線(xiàn)的次要圖形（相對(duì)而言），突出基本圖形．

例１ 如圖2，Ｐ是平行四邊形ＡＢＣＤ一邊ＤＣ延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn). 求證：ＡＥ２ ＝ ＥＰ·ＥＦ．

分析 基本圖形被選應(yīng)從“求證”著眼，看求證所需，等求式ＡＢ２ ＝ ＥＰ·ＥＦ可化為■ = ■. 從題圖中可找到與■，■有關(guān)的兩個(gè)Ｘ型圖，即△ＡＢＥ∽△ＰＤＥ，△ＡＥＤ∽△ＦＥＢ，到此問(wèn)題便容易得證. 教學(xué)實(shí)踐證明，分解法是幫助中差生在識(shí)圖的旅途中，拾級(jí)而上的得力“拐杖”，而“模型”的定格作用，常能迅速捕捉問(wèn)題的核心，使得問(wèn)題迎刃而解.

三、充分利用心理的“完形趨向”，加強(qiáng)作輔助線(xiàn)構(gòu)造基本圖形方法的指導(dǎo)與訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生靈活的構(gòu)圖能力

格式塔心理學(xué)研究表明，當(dāng)不完全的形呈現(xiàn)于眼前時(shí)，視覺(jué)中有一種強(qiáng)烈追求完整、和諧、簡(jiǎn)潔的傾向，換言之，會(huì)激起一股將它“補(bǔ)充”獲得應(yīng)有的“完整”的沖動(dòng)力，在這種“心理趨向”的作用下，大腦一旦對(duì)基本圖形形成“模型”定格，在解題中，就會(huì)形成一種自覺(jué)意識(shí)，去構(gòu)造“模型”，讓“模型”自始至終參與思維.

在題圖中，更多的情況是，Ａ型圖和Ｘ型圖呈隱形式，需動(dòng)員一些手法去尋找、挖掘，使之明朗并顯現(xiàn)出來(lái)，這就需要恰當(dāng)?shù)靥碇闷叫芯€(xiàn)，何為恰當(dāng)？仍應(yīng)從“求證”著眼，看求證所需.

例２ 如圖3，ＢＤ ＝ ＣＥ，求證：ＡＣ·ＥＦ ＝ ＡＢ·ＤＦ.

分析 按照“遇等積改等比”的思路，將ＡＣ·ＥＦ ＝ ＡＢ·ＤＦ化為■ = ■，欲求■ = ？聯(lián)想Ａ型圖，恢復(fù)Ａ型圖的原貌，則可通過(guò)Ｅ作ＥＭ∥ＤＢ交ＥＦ于Ｍ，于是出現(xiàn)兩個(gè)Ａ型圖，即△ＦＥＦ∽△ＦＤＢ和△ＣＥＭ∽△ＣＡＢ，問(wèn)題結(jié)論已明.

由此可見(jiàn)，重視并發(fā)揮基本圖形的數(shù)學(xué)模型功能，有意識(shí)地強(qiáng)化它在解題中的調(diào)控作用，對(duì)提高學(xué)生的幾何綜合分析能力是十分有益的. 因此，我們要把學(xué)習(xí)幾何的方法很好地教給學(xué)生，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán).