Matlab 在大學數學教學中的應用

【摘要】 大學數學課程比較抽象，如果完全采取傳統的教學模式，很多學生很難真正地理解和掌握. 本文將Ｍａｔｌａｂ軟件強大的數值計算功能、符號計算功能以及圖形可視化與傳統的教學模式相結合，將Ｍａｔｌａｂ 軟件應用于大學數學教學，為大學數學教學提供了一種較好的教學方法.

【關鍵詞】 Ｍatlab軟件；大學數學； 教學方法

【基金項目】貴州省教改重點項目——大學數學系列課程的教學改革研究與實踐（黔教高發［２０１３］446號）.

一、引言

Ｍatlab的名稱源自 Ｍａｔｒｉｘ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ， 它是一種科學計算軟件，由美國 Ｍａｔｈ Wｏｒｋｓ 公司開發的集數值計算、符號計算和圖形可視化三大基本功能于一體的、功能強大、操作簡單的語言. 它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，應用非常廣泛. 本文僅討論Ｍatlab在大學數學教學中的應用.

二、Ｍatlab 在大學數學教學中的應用

1． Ｍatlab在函數極限教學中的應用

在大學數學分析中有這樣一道例題：

例１ 討論極限

Ｌ ＝ ■■與

Ｌ ＝ ■■，其中ａｎ，ａｋ，ｂｍ，ｂｊ是非零實數. 經過一系列的討論，我們知道

Ｌ ＝ ■，ｎ ＝ ｍ，０，ｎ ＜ ｍ，∞，ｎ ＞ ｍｌ ＝ ■，ｋ ＝ ｊ，０，ｋ ＞ ｊ，∞，ｋ ＜ ｊ. 這是兩個很重要的公式.因為學生在學習的過程中經常會遇到類似的題目，如果每次都按照討論的方法去做，那將花費很多時間，對于一些基礎差的同學，甚至可能會算錯或者根本就不會做. 因此，如果真正地理解和掌握了這兩個公式，將給學生帶來很大的方便. 然而在教學的過程中我發現很多學生雖然表面上聽懂了，但還是沒有真正地理解. 這時我們可以借助Ｍataab的圖形可視化功能，通過具體的實例，從圖像上演示給學生看，讓學生真正地理解當x→∞或者x→0函數圖像的變化過程，從而真正地理解和掌握這兩個公式. 為了簡單起見，我僅對n = m和k = j的情況進行分析，其他情況可以類似地處理.

（１）當x→∞，n = m時，我們考慮下面的函數極限問題：

■■，首先我們令ｆ（ｘ）=■，利用Ｍａｔｌａｂ作圖工具畫出ｆ（ｘ）=■在［１０，５０００］的圖像（如圖１），然后引導學生觀察函數圖像隨著x的不斷增大，函數慢慢地趨于一個數，然后結合第一個公式讓學生發現這個數就是我們要求的極限■ = ■ = 3．

（２）當x→0，k = j時，我們考慮下面的函數極限問題：

■■，首先我們令ｆ（ｘ） = ■，利用Ｍａｔｌａｂ作圖工具畫出ｆ（ｘ） = ■在（０，１）的圖像（如圖２），然后引導學生觀察函數圖像當x趨于０時，函數慢慢地趨于一個數，然后結合第二個公式讓學生發現這個數就是我們要求的極限■ = ■ = 2．

通過這樣一種教學方式，不僅加深了學生對公式的理解和掌握，還使學生能夠熟練地運用公式求解相關的習題，從而取得較好的教學效果.

２． Ｍatlab在方程求根教學中的應用

在大學數值分析教學中，我們會遇到很多數值計算問題，例如求方程ｆ（ｘ） = 0的根，雖然在理論上已經有很多數值方法，如二分法、牛頓迭代法等，但是學生一般不太容易知道根的個數和大概位置，由于計算的復雜性，在做題的過程中也不知道計算結果是否準確. 面對這些問題，我們可以借助Ｍatlab圖形可視化功能和一些方程求根命令來進行輔助教學． 首先我們可以畫出函數ｙ ＝ ｆ（ｘ）的圖像，ｆ（ｘ） ＝ 0的根即為ｙ ＝ ｆ（ｘ）的圖像與x軸交點的橫坐標，可以讓學生從視覺上確定根的個數和大致位置，再利用求根命令求出根的具體數值，使學生能夠將自己的計算結果和準確的結果進行比較，提高學生的學習效率，從而達到較好的教學效果. 下面我們通過一道例題來分析一下.

例２ 已知ｆ（ｘ） ＝ ｘ - cos2x，求方程ｆ（ｘ） = 0在x = 1附近的根.

這是一個超越方程，首先在區間［０，２］上作出ｆ（ｘ） ＝ x-cos2x的圖像（如圖３），從圖像我們可以觀察到方程在區間［０，２］只有一個根，根的大致位置在x = 0.6附近，然后利用求根命令，在Ｍａｔｌａｂ命令窗口輸入：ｘ ＝ ｆｚｅｒｏ（’ｘ－（ｃｏｓ（ｘ））＾２’，１），便可求出ｘ ＝ ０．６４１７.

3． Ｍａｔｌａｂ在常微分方程教學中的運用

在微分方程的教學過程中，我們經常需要講習題課和為學生批改大量的作業，而有的習題相對比較復雜，如果每道題目我們都親自去做，這將花費很多時間. 另外很多題目的解題方法都是一樣的，沒有必要浪費時間去做一些重復的工作. 這時我們可以借助Ｍａｔｌａｂ軟件來求解微分方程的通解或特解，從而可以節約很多時間，更好地為教學服務. 在Ｍａｔｌａｂ中，求解常微分方程（組）使用的是ｄｓｏｌｖｅ 函數，具體格式為：

Ｒ＝ｄｓｏｌｖｅ（′ｅｑｎ１′，′ｅｑｎ２′，…，ｃｏｎｄ１′，′ｃｏｎｄ２′，…，′ｖａｒ′．

其功能為求解滿足初始條件的特解，若無初始條件，則求出通解. 其中eqni表示第i個微分方程，condi表示第i個初始條件，var表示微分方程（組）中的自變量，默認時自變量為ｔ. 在Ｍａｔｌａｂ中，約定Ｄ１表示一次微分，Ｄ２表示二次微分，Ｄ３表示三次微分，依次類推，Ｄｎ表示ｎ次微分，符號Ｄｙ相當于Ｄｙ／Ｄｔ. 函數ｄｓｏｌｖｅ把Ｄ后面的變量當作因變量，并默認是對自變量ｔ求導，當然也可以指定其他的自變量. 下面我們通過兩道例題來演示ｄｓｏｌｖｅ 函數的用法.

例３ 求解二階微分方程ｙ″ － ｙ′－ ２０ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ當ｙ（０） ＝ １，ｙ′（０） = 2時的特解．

首先在Ｍａｔｌａｂ命令窗口中輸入：

ｒ＝ｄｓｏｌｖｅ（′Ｄ２ｙ－Ｄｙ－２０*ｙ＝ｓｉｎ（ｘ）′，′ｙ（０）＝１，Ｄｙ（０）＝２′，′ｘ′）

按回車鍵便可得到下面的運算結果：

ｒ＝（５０*ｅｘｐ（－４*ｘ））／１５３＋（１５７*ｅｘｐ（５*ｘ））／２３４＋ｃｏｓ（ｘ）／４４２ － （２１*ｓｉｎ（ｘ））／４４２．

例４ 求方程組■ = x + y■ = -x + y在ｘ（０） ＝ １，ｙ（０） ＝ ２時的特解.

首先在Ｍａｔｌａｂ命令窗口中輸入：

［ｘ，ｙ］＝ｄｓｏｌｖｅ（′Ｄｘ＝ｘ＋ｙ′，′Ｄｙ＝－ｘ＋ｙ′，′ｘ（０）＝１′，′ｙ（０）＝２′）

按回車鍵便可得到下面的運算結果：

ｘ ＝ｅｘｐ（ｔ）*ｃｏｓ（ｔ） ＋ ２*ｅｘｐ（ｔ）*ｓｉｎ（ｔ），ｙ ＝２*ｅｘｐ（ｔ）*ｃｏｓ（ｔ） － ｅｘｐ（ｔ）*ｓｉｎ（ｔ）．

三、結語

本文將Ｍａｔｌａｂ軟件強大的數值計算功能、符號計算功能以及圖形可視化與傳統的教學模式相結合，將Ｍａｔｌａｂ 軟件應用于大學數學教學，為大學數學教學提供了一種較好的教學方法. 然而，如何將Ｍａｔｌａｂ軟件合理而且有效地應用在大學數學的教學中，還需要進行深入的學習和研究. 本文只是從幾個簡單的方面闡述了Ｍａｔｌａｂ 軟件在大學數學教學中的應用. 事實上，Ｍａｔｌａｂ軟件在大學數學教學中的應用還很多，這也是我們下一步需要進一步深入研究的課題，也是一件非常有意義的事情.

【參考文獻】

［１］王學輝，張明輝．Ｍａｔｌａｂ ６．１ 最新應用詳解［Ｍ］．北京：中國水利水電出版社，２００１．

［２］朱漢敏．Ｍａｔｌａｂ用于高等數學的教學［Ｊ］．計算機輔助工程，２００４（２）．

［３］陳繼修，於崇華，金路． 數學分析［Ｍ］：第二版，上冊． 北京：高等教育出版社，２００４．

［４］姜健飛，胡良劍，唐儉．數值分析及其Ｍatlab實驗［Ｍ］．北京：科學出版社， ２００４．