一元二次方程常見錯誤歸納

【摘要】 一元二次方程是初中數學的一個重點內容，與一元二次方程相關聯的知識還有二次函數. 因此，要深入地掌握好這一知識點，才能在相關知識的學習過程中更加輕松自如. 一元二次方程的學習除了基本的知識點和基本技能外，更重要的是對一元二次方程的應用. 在考試中，一元二次方程的考查也是相當靈活的，題型非常豐富，如果學生們對相關的知識點掌握不牢固的話，則很容易陷入錯誤的境地.

【關鍵詞】 初中數學；習題教學；錯誤歸納；一元二次方程；解題技巧

縱觀平時的習題和各種考試，一元二次方程的相關題型雖然很豐富，但考查的知識點還是比較集中的. 部分學生對一元二次方程的一些概念和公式沒有理解透徹，在解題過程中往往會出現這樣或那樣的錯誤. 因為考點相對集中，學生們出現的錯誤類型也比較統一，下面我們就來梳理一下學生們常出現的一些錯誤，以提高學生們對解題技巧的把握，防止一些不必要的錯誤出現.

一、一元二次方程的定義不熟導致錯誤

例１ 關于ｘ的方程mx2 - 5x = 2x2 - mx + 3是一元二次方程的條件是什么？

錯解 ｍ ≠ ０時，原方程是一元二次方程.

分析 這種題型直接就是對一元二次方程的定義的考查，學生們必須要清楚地知道一元二次方程的定義，如二次項系數不能為０，最高次項的系數必須要是２. 在上述解答中，ｍ ≠ ０，學生只是很片面地把“二次項系數不能為０”代入到原方程中，這樣就導致了錯誤的出現. 在這里，學生還忽略掉了一個非常重要的條件，沒有深入徹底地理解好一元二次方程的定義，“二次項系數不能為０”還有一個前提條件，就是方程是一般形式ax2 + bx + c = 0時，此時ａ ≠ ０，因此，原方程要先化成一般形式，再令二次項系數不為０即可．

正確解答 原方程整理得：（ｍ － ２）ｘ２ ＋ （ｍ － ５）ｘ － ３ ＝ ０，令ｍ - ２ ≠ ０，即ｍ ≠ ２，此時ｍｘ２ － ５ｘ ＝ ２ｘ２ － mx + 3是一元二次方程.

二、忽略了方程無解的情況導致錯誤

例２ 若方程3x2 + （a2 + 3a - 10）x + 3a = 0的兩根互為相反數，此時ａ的取值是多少？

錯解 由已知可得ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ －■ ＝ －■ ＝ ０，解得ａ１ ＝ ２，a2 = -5.

所以，當a1 = 2，ａ2 = -5時，方程的兩根互為相反數.

分析 這道題目中解題的方向是沒有錯的，根據兩根互為相反數的條件，可以用韋達定理表示出來，解得a1 = 2，ａ2 = -5，但必須要注意的是，這兩者之間并不是充要條件，當a1 = 2，或ａ2 = -5時，要考慮到方程是否有意義，也就是方程中的Δ是否會小于０. 也可以在求ａ的值時充分考慮到另外一個條件，如得到不等式的公共解. 在本題中，要讓方程有意義，Δ ＞ ０，而x1x2 < 0即可推出Δ ＞ ０.

正確解答 由已知可得-■ = 0■ < 0，解得a = -5.

此題中也可以把原來解得的a1 = 2，ａ2 = -5代入到原方程中，檢查方程是否有意義，把不符合條件的ａ的值舍去.

三、漏解導致錯誤

例３ 如果實數ａ，ｂ滿足（ａ ＋ １）２ ＝ ３ － ３（ａ ＋ １），（ｂ ＋ １）２＝ ３－ ３（ｂ ＋ １），那么■ + ■的值為多少？

錯解 由已知可得，ａ，ｂ是關于ｘ的方程（ａ ＋ １）２ ＝ ３ － ３（ａ ＋ １）的兩根，整理方程得x2 + 5x + 1 = 0，所以a + b = -5，ａｂ ＝ １，■ ＋ ■ ＝ ■ ＝ ２３.

分析 雖然已知顯示ａ，ｂ是原方程的根，但并沒有具體說明ａ與ｂ之間的關系，ａ可能等于ｂ，也可能不相等. 因此，要分兩種情況來說明和討論. 但學生們常常會忽略這一點，很容易就導致錯誤.

正確解答 當ａ ≠ ｂ時，■ + ■ = 23；當ａ ＝ ｂ時，■ + ■ = 2.

四、忽視隱含條件導致錯誤

例４ 若關于ｘ的方程（１ － ２ｋ）x2 - 2■ｘ － １ ＝ ０有兩個不相等的實數根，求ｋ的取值范圍．

錯解 由已知可得：Δ ＝ （－２■）２ － ４（１ － ２ｋ）（－１） > 0，且1 - 2k ≠ 0，解得：ｋ ＜ ２，ｋ ≠ ■.

分析 上述解法中，思路還是比較明確的，就是通過方程的兩根的情況確定Δ的范圍，然后解不等式組. 在解答的過程中對隱含的條件卻沒有考慮齊全，雖然留意到了1 - 2k ≠0，但卻忽略了根號內被開方數的范圍，ｋ ＋ １ ≥ ０.

正確解答 -1 ≤ k < 2，且ｋ ≠ ■.

總的來說，一元二次方程所涉及的題型比較多樣，但難度也不是特別大，大部分學生的解題思路還是比較清晰的，關鍵就是一些細節方面處理得不好，這也是常見的丟分點，只要在平時的學習中養成謹慎細心的良好學習習慣，并強化對相關知識的掌握，一定可以順利地解一元二次方程的相關題目.

【參考文獻】

［１］盧霞．重視一元二次方程解法中的數學思想．文理導航，２０１３（23）.

［２］姚小琴．淺議一元二次方程的教法．都市家教：上半月，２０１３（8）.

［３］陳敬艷．談談構造一元二次方程解題．河北理科教學研究，２０１３（3）.