三個(gè)“一次”之間關(guān)系的探究

一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式之間的本質(zhì)聯(lián)系是它們都是人們刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程與不等式，學(xué)生不僅能加深對(duì)方程、不等式的理解，更能提高認(rèn)識(shí)問(wèn)題的水平，而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來(lái)，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第六章第六節(jié)課題是“一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式”，本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)完一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式后對(duì)這三個(gè)“一次”關(guān)系進(jìn)行的更深層次探究. 這節(jié)課的信息量、內(nèi)容量大，教材卻避重就輕只孤立列舉了個(gè)別例題，缺少對(duì)三者邏輯關(guān)系的梳理，導(dǎo)致教師處理課堂教學(xué)任務(wù)異常困難. 這三者是并列關(guān)系、主次關(guān)系，還是因果關(guān)系，抑或是整體與部分的關(guān)系？參考教輔用書(shū)上的教學(xué)目標(biāo)：

1. 通過(guò)具體實(shí)例，初步體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系.

2. 了解一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用和聯(lián)系.

這樣的教學(xué)目標(biāo)根本沒(méi)有表明三者的關(guān)系，當(dāng)然也不能為教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)服務(wù)，所以很多老師上這一課時(shí)云里霧里，不知如何處理教學(xué)內(nèi)容，理清三者的關(guān)系. 對(duì)學(xué)生而言，這三個(gè)“一次”關(guān)系抽象程度較高，學(xué)起來(lái)有很大的困難，所以教學(xué)時(shí)非常有必要給以簡(jiǎn)單明了、深入淺出的分析. 以下筆者從自身教學(xué)實(shí)踐出發(fā)梳理這三者的關(guān)系.

一、以一元一次方程和一元一次不等式為基礎(chǔ)工具，解決一次函數(shù)（與ｘ軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，自變量、因變量的取值范圍等）問(wèn)題

一次函數(shù)是學(xué)生在掌握一元一次方程和一元一次不等式之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在一次函數(shù)的章節(jié)里把它和一元一次方程和一元一次不等式放在一起研究，目的還是以一元一次方程和一元一次不等式為工具為解決一次函數(shù)中的各類(lèi)問(wèn)題服務(wù).

１. 一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)系

當(dāng)ｘ取不同值時(shí)，代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０）的值將出現(xiàn)三種情況：ｋｘ ＋ ｂ ＞ ０，ｋｘ ＋ ｂ ＝ ０和ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０，我們把ｋｘ ＋ ｂ ＝ ０叫作一元一次方程，把ｋｘ ＋ ｂ ＞ ０，ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０叫作一元一次不等式.

２. 一元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系

如果我們用ｙ表示代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０），那么當(dāng)ｘ取不同值時(shí)，代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０）的值隨之發(fā)生變化，也就是ｙ的值發(fā)生變化，這就構(gòu)成了一次函數(shù). 當(dāng)函數(shù)值ｙ ＝ ０時(shí)，ｋｘ ＋ ｂ ＝ ０，這就得到了一元一次方程的一般形式. 從一次函數(shù)圖像的角度理解，相當(dāng)于求直線ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 教學(xué)時(shí)可這樣設(shè)計(jì)問(wèn)題串：

問(wèn)題一：在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出ｙ ＝ ｘ ＋ １的函數(shù)圖像，并寫(xiě)出圖像與ｘ軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

問(wèn)題二：除直接觀察圖像（讀圖）外，你還有其他方法求解函數(shù)ｙ ＝ ｘ ＋ １與ｘ軸的交點(diǎn)坐標(biāo)嗎？（代入求值、列一元一次方程）

問(wèn)題三：比較兩種方法，歸納一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系.

３. 一元一次不等式和一次函數(shù)的關(guān)系

如果我們用ｙ表示代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０），那么當(dāng)ｘ取不同的值時(shí)，代數(shù)式ｋｘ ＋ ｂ（ｋ ≠ ０）的值隨之發(fā)生變化，也就是ｙ的值發(fā)生了變化，這就構(gòu)成了一次函數(shù). 當(dāng)函數(shù)值ｙ ＞ ０時(shí)，ｋｘ ＋ ｂ ＞ ０，函數(shù)值ｙ ＜ ０時(shí)，ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０，就得到了一元一次不等式的一般形式. 從一元一次函數(shù)圖像的角度理解，ｋｘ ＋ ｂ ＞ ０相當(dāng)于求直線ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ在ｘ軸上方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)一次函數(shù)的圖像在ｘ軸的下方時(shí)，對(duì)應(yīng)的ｙ ＜ ０．此時(shí)，直線ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的全體就是一元一次不等式ｋｘ ＋ ｂ ＜ ０的解集. 教學(xué)時(shí)，可設(shè)計(jì)問(wèn)題串：

問(wèn)題一：觀察函數(shù)ｙ ＝ ｘ ＋ １的圖像，寫(xiě)出：（１）ｘ為何值時(shí)，ｙ ＞ ０？ （２）ｙ為何值時(shí)，ｘ ＜ ０？

問(wèn)題二：除直接觀察圖像（讀圖）外，你還有其他方法求解問(wèn)題四嗎？（列一元一次不等式）

問(wèn)題三：比較兩種方法，歸納一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系.

在教學(xué)時(shí)，要理清這三者的關(guān)系，通過(guò)這樣一串一串的問(wèn)題，是能達(dá)到教師所要的目標(biāo)的.

二、從函數(shù)圖像上來(lái)看，一元一次方程是點(diǎn)，一元一次不等式是射線（或線段，有時(shí)缺端點(diǎn)），一次函數(shù)是直線，三者是整體與部分的關(guān)系

一次函數(shù)的圖像是連接一次函數(shù)解析式和一次函數(shù)性質(zhì)的橋梁，它是數(shù)形結(jié)合的典范. 一次函數(shù)的圖像是一條直線，這條直線就對(duì)應(yīng)了一個(gè)一次函數(shù)的解析式，已知這條直線上某個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)），就能通過(guò)一元一次方程計(jì)算得到一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo). 而已知自變量（或應(yīng)變量）的取值范圍，就能通過(guò)一元一次不等式得到一條射線（或線段，有時(shí)無(wú)端點(diǎn)）. 函數(shù)刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，是全過(guò)程；方程是刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的某一瞬間；不等式是刻畫(huà)變化過(guò)程中的同類(lèi)量之間的大小，是某個(gè)片段. 這種關(guān)系可以很形象地借用電影來(lái)描述，一元一次方程是電影的海報(bào)，一元一次不等式是預(yù)告片，一次函數(shù)才是一部完整的電影.

三、“數(shù)形結(jié)合”，借用函數(shù)圖像，形成“一個(gè)中心三個(gè)點(diǎn)”，將三個(gè)“一次”融合在一起

設(shè)計(jì)問(wèn)題：畫(huà)出一次函數(shù)ｙ ＝ ２ｘ ＋ ４的圖像，根據(jù)圖像說(shuō)出２ｘ ＋ ４ ＝ ０，２ｘ ＋ ４ ＞ ０，２ｘ ＋ ４ ＜ ０的解. 充分體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的思想，從方程、一次函數(shù)、不等式等方面進(jìn)行思考，通過(guò)“讀圖”常?？梢詾榻鉀Q有關(guān)方程、不等式、函數(shù)性質(zhì)等問(wèn)題提供方便；一次函數(shù)的圖像是一條直線，非常直觀，便于從“形”的特征解決一次方程、一元一次不等式問(wèn)題. “圖像”是一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式三者關(guān)系中的主干，從“數(shù)”到“形”是根據(jù)函數(shù)畫(huà)圖像；從“形”到“數(shù)”就在于“讀圖”，利用圖像解決三個(gè)“一次”中的所有問(wèn)題.

由此看來(lái)，一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式是相互依存、相互滲透的一個(gè)整體，理清這三個(gè)“一次”的關(guān)系，就能夠使學(xué)生的知識(shí)相互交融形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到觸類(lèi)旁通的效果.