培養學生合情推理能力應注意的幾個問題

【摘要】 合情推理與演繹推理是中學數學推理的兩種形式，二者關系密切，運用合情推理要有針對性，注意避免其帶來的負遷移，要重視對猜想結果的檢驗和證明.

【關鍵詞】 中學數學；合情推理；推理能力

著名的數學家、教育家波利亞通過對數學思維規律的研究發現，在一般的科學思維中，除“證明推理”（即演繹推理）以外，還有另一種推理——合情推理，主要表現形式是歸納、類比. 數學不僅僅含有嚴謹證明和確定性結果，在數學研究中，觀察、實驗、歸納、類比、假設、猜測等方法同樣起了重要作用. 相對于演繹推理，合情推理算是一個“新興事物”，因此，在培養學生合情推理能力的過程中，要注意以下幾點.

一、理清合情推理和演繹推理的關系

作為數學推理的兩種形式，合情推理和演繹推理是相輔相成的，不能割裂開來. 合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算. 首先，合情推理的主要思維形式類比和歸納依托的是經驗和直覺，這里的經驗應該是由演繹推理證明或計算得出的正確的經驗，直覺也應是有依據的直覺，如果僅僅從觀察到的事實隨便猜測結論，這樣推得的結論毫無意義. 其次，合情推理得到的結論需要用演繹推理的方式嚴謹地證明，否則，不能將此結論進行推廣. 第三，演繹推理所用到的某些定義、定理可以通過合情推理的方式由學生自主探索發現，學生通過觀察、類比、歸納、猜測、證明得到了定理，不僅學到了知識，而且從學習中獲得了快樂. 但是，如果在推理教學中，忽略了兩種推理間的密切關系，將二者分開教學，甚至僅僅為了練習考試中找規律題目而學習合情推理，學生就不能理解這兩種推理形式在數學發展中的作用，更不能將這種大膽猜想、小心求證的思維習慣運用到學習和生活中，更何談創新能力的發展. 因此，教師要有意識地提醒學生，兩種推理是相輔相成的，合情推理用于探索思路，演繹推理用于證明結論；由合情推理得出的結論一定要證明其正確性，要培養學生對待特殊與一般、部分與整體的辯證思維.

二、避免合情推理對學生學習的負遷移

負遷移是一種學習對另一種學習的阻礙作用，如學習拼音對學習英語的干擾等. 發生負遷移，是因為兩種知識有很大的相似之處. 合情推理中的類比推理是根據兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理. 例如，由有理數的加減運算推測整式的加減運算，由分數的化簡和計算推測分式的化簡和計算. 類比推理是引入新數學概念或法則的一種有效工具，用舊知識類比得出新知識，比單純地介紹新知識能夠使學生更容易理解. 但是，類比推理有可能產生學習的負遷移. 例如，一元一次不等式和一元一次方程的形式特別相似，只有不等號和等號的差別. 但是，在引入一元一次不等式的解法時，若用一元一次方程的解法來類比，移項、合并同類項，前兩步是相同的，但是到第三步時，學生就會忘記根據一次項系數的正負來決定不等號的方向，這就是解一元一次方程帶來的負遷移. 因此，并不是所有的相似概念都可以經過類比推理得出，應該根據具體知識具體對待，不能亂用和濫用類比推理.

三、合情推理切忌“想當然”

合情推理首先要觀察已有的事實，再經過歸納和類比從中發現一定的規律，最終得出結論. 得出規律的過程中要求學生思維嚴謹、考慮全面，否則，就會出現“想當然”的錯誤. 例如下面一道題：

已知點Ｏ到△ＡＢＣ的兩邊ＡＢ，ＡＣ所在直線的距離相等，且ＯＢ ＝ ＯＣ．

（1）如圖１，若點Ｏ在邊ＢＣ上，求證：ＡＢ ＝ ＡＣ；

（2）如圖２，若點Ｏ在△ＡＢＣ的內部，求證：ＡＢ ＝ ＡＣ；

（3）若點Ｏ在△ＡＢＣ的外部，ＡＢ ＝ ＡＣ成立嗎？請畫圖表示.

此題考查了三角形的全等，前兩小題比較容易，只需作點Ｏ到邊ＡＢ，ＡＣ的垂線，再證明三角形全等即可. 第三小題是探究題，點Ｏ在三角形內和三角形上時，ＡＢ ＝ ＡＣ都成立，那么最后一種情況，在三角形外是否也成立呢？根據學生做題經驗，這種題目往往都是成立的，就不假思索地回答了成立. 事實上，若點Ｏ在△ＡＢＣ的外部，ＡＢ ＝ ＡＣ不一定成立，如圖３，作一個任意三角形ＡＢＣ，作∠A的角平分線和ＢＣ的中垂線，交于點Ｏ，這樣點Ｏ到△ＡＢＣ的兩邊ＡＢ，ＡＣ所在直線的距離相等，且ＯＢ ＝ ＯＣ，但ＡＢ ≠ ＡＣ.

合情推理雖然是探索思路的好方法，但如果推理過程不嚴謹，只考慮表面現象，想當然地認為結論成立，就會出現問題，也違背了數學求真務實的精神. 另外，得出結論如果不檢驗和證明也容易犯錯誤. 例如，比較20132014和20142013的大小，先從簡單情況入手，12 < 21，23 < 32…有的學生看到前兩個都是小于，就認定20132014也小于20142013. 但如果再寫幾組就會發現：３４ ＞ ４３，４５ ＞ ５４，５６ ＞ ６５…即當ｎ ≥ ３時，ｎｎ ＋ １ ＞ （ｎ ＋ １）n. 可見，在尋求規律的過程中，大膽猜測是建立在盡量多的數據上的，而不是由個別的現象加上天馬行空的想象得來的，得出結論后要加以檢驗和證明.

合情推理為我們提供了數學知識產生的方式，培養學生合情推理的能力，也就是培養學生善于觀察思考、勇于創新的能力. 教師應該在教學中適當地應用合情推理，并且注重對結論的演繹證明，下意識地提醒學生合情推理和演繹推理相輔相成的關系，學會善于觀察、大膽猜想和小心求證的思維方式.