放大配方 拉伸過程

【摘要】 學生學習與應用配方法有障礙，教師需要進行分析與思考，組織學生拉伸配方過程，放大、放慢配方步調，領悟其本質與屬性，提升學生的學力.

【關鍵詞】 配方法；教材編排；教學處理

配方法是中學數學的一種重要方法，在新人教版九年級數學上冊中最先出現；它是一種恒等變形，背后隱含了豐富的數學思想，學生學習它有障礙、影響大，值得教師分析與思考. 一、配方法的編排與分析

新人教版九年級數學主要呈現的數學方法是配方法. 它出現的背景是合理的，分為兩個階段：

1. 背景、描述性概念與應用

上冊，學完利用平方根降次解一元二次方程后，配方法在教材的Ｐ３０－３４通過一系列的安排，最終以帶描述性的概念形式出現——先思考“設法把ｘ２ ＋ ６ｘ - １６ ＝ ０化為具有（ｘ ＋ ｎ） ２ ＝ ｐ或（ｍｘ ＋ ｎ）２ ＝ ｐ（ｐ ≥ ０）的形式”；接著通過直觀、程序化的思維“框圖”（移常數項→配方→改寫→降次→求解）引領學生利用配方（使左邊配成ｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｂ２形式）降次求根；然后思考：“為什么要在方程ｘ２ ＋ ６ｘ - １６ ＝ ０兩邊加９？加其他數行嗎？”最后歸納：“像上面那樣，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫作配方法. ”之后是舉例與練習.

2. 在二次函數中的再應用

下冊Ｐ１１－１２，配方法的再應用以跨越式出現——先思考“我們知道，像ｙ ＝ ａ（ｘ － ｈ）２ ＋ ｋ這樣的函數，容易確定相應拋物線的頂點為（ｈ，ｋ），二次函數ｙ ＝ ■ｘ２ － ６ｘ ＋ ２１也能化成這樣的形式嗎？”接著省略配方過程，“配方可得：ｙ ＝ ■（ｘ － ６）２ ＋ ３”；然后歸納：“一般地，我們可以用配方法求拋物線ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的頂點與對稱軸. ”最后是相關練習.

可見，教材以降次解方程為主線，以程序化、規范化的解答模式為母體重點介紹配方法解方程，對學習解方程無疑具有最明了的示范作用；對于用配方法求拋物線的頂點以及推導頂點坐標公式，教材刻意省略. 這種編排具有很強的主體性、拓展性.

就解方程而言，學生有教材中的框圖模仿，解類似ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０或ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的方程不難學；就推導二次函數的頂點公式而言就難了. 因為配方法不只是用來解方程，它用在求拋物線的頂點與最值時的思路、步驟、程序與解方程有明顯的差別，學生找不到相應的配方過程或框圖作參考，一頭霧水. 說明解方程時設定的思維框圖和程序化的步驟容易掩蓋配方的本質、淡化配方的重點，學生的配方方法與思路受束于起初的、程序化的、解方程的步驟. 這種編排也有一定的斷裂性、局限性.

二、學生學習配方法的狀況

１. 學生解形如ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的一元二次方程，容易習慣性地移項后就直接配方（沒有先將二次項系數化為１）或二次項系數化為１時漏除常數項.

２. 學生解形如（ａｘ）２ ＋ ２ａｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的方程，往往仍然按移項、二次項系數化為１、配方等程序進行（學生對那種解答程序的記憶太深）.

３. 學生解決形如（ｍｘ ＋ ｎ）２ ＝ ｐ（ｐ < ０）的方程，錯解為ｍｘ ＋ ｎ ＝±■；很難進行求根公式的推導，容易錯把■等成２ａ.

４. 配方法求最值或推導拋物線的頂點坐標公式，思維和表達方式混亂.

５. 其他的配方恒等變形，配方的綜合能力弱.

三、配方法的教學處理

其實，配方的核心是從不是完全平方的代數式或等式的一邊中，選定要配的對象（要有兩個），通過恒等變形，把其中的某些項配成一個或幾個完全平方式；配方的原則是維持數式的恒等（代數式不存在移項或兩邊加配問題）. 為此，教師除了要引導學生利用完全平方與二次根式的非負性等功能規避配方法解方程過程中的錯誤外，更需要根據教材編排，創新教學設計，組織學生拉伸配方學習的過程，放大配方的切入點，放慢配方思維的步調，使之領悟配方的思路，突破配方的重點，理清配方的本質，發展學生的思維.

處理方式一：通過置換系數、改變形態，從特殊到一般去理解配方. 例如設計帶梯度的組題：①ｘ２ ＋ ８ｘ － １ ＝ ０；② ｘ２ － ｂｘ ＝ ４；③ ２ｘ２ － ２ ＝ ３ｘ；④ ３ｘ２ ＋ ｂｘ ＝ ｃ；⑤ ａｘ２ － ｂｘ ＋ ４ ＝ ０……實現從單一的數字系數逐步過渡到字母系數的置換，使學生深刻領悟配方的過程與核心，走出程序化的困擾——解決配方應用在解方程的難點問題.

處理方式二：以方程的一邊的恒等變形為抓手，改換解題的思路與程序，換種形式來配方. 例如從方程的左邊看，ｘ２ ＋ ８ｘ － １ ＝ ０可以變形為（ｘ ＋ ４）２ － １６ － １ ＝ ０；３ｘ２ ＋ ｂｘ ＝ ｃ可以變形為３ｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ － ■ ＝ ｃ……引導學生統一方程中的變形程序與二次多項式的變形程序，超脫解方程的配方框圖——解決配方的過程與形式問題.

處理方式三：以配方的對象作為切入點，多層次、多角度地拓展配方學習. 如對于任意的ａ，ｂ，當ａ２ ＋ ｂ２用（ａ ＋ ｂ）２ － ２ａｂ配方，當ａｘ２ ＋ ｂｘ用ａｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ － ■配方——解決配方的本質與思路問題.

處理方式四：列舉配方法在初中數學的其他應用. 如：①判斷關于ｘ的一元二次方程（ｋ － １）ｘ２ － ２ｋｘ ＋ ３ ＝ ０的根的情況；②求證：無論ｘ，ｙ取任何實數，多項式ｘ２ ＋ ｙ２ － ２ｘ － ４ｙ ＋ １６總是正數；③已知實數ｘ，ｙ滿足ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０，求ｘ ＋ ｙ的最大值等——解決配方用途與蘊含的數學思想問題.

總之，新課標下的教學，教師不但要“吃”透教材，還要分析學生的學習狀況，更要創造性地設計好數學的感知、理解、思考與拓展過程，通過放大、拉伸、放慢等處理方式，“延伸知識的發現與領悟的鏈條，實現知識的有效內化，達到綠色的教學追求，發展學生的思維，提升學生的學力”.