從求圖形中的陰影部分面積,談數學中的逆向思維

背景描述：

小學數學是一門邏輯性極強的學科，加強對小學生的思維能力的培養是小學數學教學中的一個重要任務，逆向思維作為訓練小學生思維轉換能力的一種重要形式，在新課改中日漸受到人們的重視. 眾所周知，正向思維有時會制約思維空間的拓展，甚至會導致問題無法解決，此時需要我們改變思維方向，用逆向思維的方式去探求解決問題.逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式. 敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，從問題的相反面深入地進行探索，樹立新思想，創立新形象. 人們習慣于沿著事物發展的正方向去思考問題并尋求解決辦法. 其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化. 如我國古代司馬光“破缸救孩”的故事，可謂人人皆知了，打破水缸，使孩子得救，這是典型地運用了逆向思維. 逆向思維有其特殊的重要性，但很多時候教師在教學中重視不夠，致使學生的逆向思維能力得不到培養，解決相關問題的能力不強，對某些顯而易見的逆向問題感到無從下手.

教學片段一

已知：如圖，正方形的面積是２平方厘米，求陰影部分的面積是多少平方厘米？

生：如果正方形的面積是４平方厘米就好了，我就會算了. （學生想到求圓的面積，就想到要知道半徑是多少）

師：題目數字沒有任何問題，再仔細想想. （過了幾分鐘，學生還是在苦思冥想）

師：圓的面積怎么計算？

生：πｒ２，我還知道這個陰影部分就是四分之一圓的面積.

師：你講得真好！看來如果能求出圓的面積，這題目就解決了.

生：我覺得不可能求出ｒ是多少，所以無法計算.

師：你能用字母表示這道題的計算結果嗎？

生：■πｒ２.

師：非常好，仔細觀察并思考，你發現了什么？

生：我知道了，ｒ２ ＝ ２，我能求出來了.

師：為什么？

生：ｒ２就是正方形的面積. （全班同學反應過來）

分析：在小學數學中，許多問題都采用的是正面解題思路，即從條件入手，求得結論. 但是有時候從正面解題比較困難，此時不妨另辟蹊徑，展開逆向思維，利用倒推法，從結論入手，逐步逆推，往往可以打破僵局，化難為易，起到事半功倍的效果. 加強倒推法的訓練，既可化難為易，化繁為簡，也可促進學生逆向思維能力逐步發展.

教學片斷二

求下圖中陰影部分面積. （單位：厘米）

師：比一比你們的眼力，比一比你們的思維能力，看誰能把這個圖中的陰影部分面積求出來. （學生動筆做了幾分鐘）

生１：老師，這道題我做不出來.

生２：老師，這道題的已知條件標錯了.

師：沒有標錯. 能作出來. （學生又動筆做了幾分鐘，有困難）

師：大家直接求陰影部分是不是很困難啊？

生：沒辦法求的！

師：那仔細想想，那我們如果不去直接算陰影部分的面積.

生：那樣啊，先讓我們想想. （學生想了一會兒）

師：題目除了陰影部分，剩下來還有什么部分？

生：有陰影部分面積和空白部分面積.

生：哦，知道了. 求出空白部分面積就能算出陰影部分的面積了. （全班同學恍然大悟，很快作出這道題）

分析：做好正向思維與逆向思維的轉換. 人的思維活動一般來說是按一定方向進行的，教學中要積極地促使學生的思維，能夠按需要自由地離開一種思路而轉移到另一種思路，從而形成思維方向的多面化.只有把教學中的相關逆向思維訓練的問題落實到位，才能使學生的逆向思維能力得到提高. 教學中既要注重培養學生正向思維，還要關注學生逆向思維的培養.

反思和分析

教學實踐告訴我們，數學思維的發展是整體進行的，而逆向思維總是與順向思維交織在一起. 因此，我們在教學中進行思維訓練時，也要注意逆向思維的培養，把培養學生逆向思維作為素質教育的重要方面.在教學教材中存在著大量的順逆運算、順逆公式、順逆關系，注意對學生進行順向思維的訓練的同時，也要重視對學生進行逆向思維的培養，“思維能力的發展是學生智力發展的核心，也是智力發展的重要標志”. 因此，在小學數學課堂教學中要充分挖掘教材中的互逆因素，有機地訓練和培養學生的逆向思維能力，以提高學生的數學素養.