探究數學概念本質 提高課堂教學實效

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式．概念是數學的思維細胞，是數學知識的核心，是數學思想方法的載體．正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵（即對象的“質”的特征）及其外延（即對象的“量”的范圍）．

一、概念教學存在的問題

數學概念是學習數學的基礎，教師如何進行概念教學顯得尤為重要.多年的聽課評課，發現初中數學概念教學主要存在以下幾個問題：

１． “一個定義幾個注意”

“一個定義幾個注意”，這在老教師課堂更加突出，教師想把概念迅速給學生，也可以說一步到位，就從字面上提煉概念中的幾點，提醒學生注意，接下來就是抓緊訓練．在整個過程中教師都只是告訴學生“什么是”或“什么叫”，這樣的課堂形式依然是教師為主體，學生僅僅只是接受，學生對學習的概念沒有生成過程，學生不知道這個概念是從哪里來還要到哪里去，學的是表面，做題也是直接利用概念，題型略有變化學生就不會，結果就是教師一味埋怨學生，學生自己也失去信心，這樣的癥結并不在學生，而是概念教學的失敗.如三角函數一節課，教師只是告訴學生在直角三角形中對邊比斜邊叫這個角的正弦，鄰邊比斜邊叫這個角的余弦，對邊比鄰邊叫這個角的正切，馬上進入練習．三角函數是一類函數，是在動態下產生的，而本節課中并沒有讓學生經歷三角函數的生成過程，教師只是把基本內容講述清楚，簡單的把一節有血有肉的概念課變成一節練習課，學生的邏輯思維沒建立起來，只是變成單純的強化記憶．

２． “掐頭去尾要中間”

一個數學概念的生成需要一個過程，概念的產生與發展對數學的學習起著重要作用．走進新課程大部分教師認識到這一點，但卻很難改變傳統的教學模式，總是怕浪費時間，概念生成的過程采取“掐頭去尾講中間”．如平面直角坐標系的生成不僅僅是生成平面直角坐標系的相關概念內容，更要讓學生了解知識是從哪里來的，是誰發現的，概念生成之后都有誰進行過使用，它又有怎樣的應用，解決過哪些重要問題，這一系列的內容都是生成平面直角坐標系內容的主材．而這主材正是學生對平面直角坐標系的理解以及后續應用的根本所在，很多老師卻忽略了，盲目地進行做題．

３． “只探討不歸納”

大部分教師都在轉變觀念，在教學設計過程中，注重概念的生成，給學生探究的時間和空間，讓學生參與教學的過程，經歷知識生成的過程，也讓我們看到了一個有生命力的課堂. 但也有一部分教師雖然注重了知識的生成，也給學生時間進行探究了，但在探究的過程中只做到“放”，沒有及時“收”，這樣的生成過程缺少完整性，歸納是學生對一類問題的再認識過程，也是知識提煉的過程，更是知識升華的過程．如“一次函數”一節課，教材給了很多貼近學生生活的實際例子，通過實際問題，列了很多關系式，教師不去讓學生分析這些關系式的共同特點，而是急于下結論，告訴學生這些函數我們就叫一次函數，這個生成的過程學生只做了一部分就被教師給扼殺了．

二、概念教學的實施策略

認識到了概念教學的重要性，也了解到目前在概念教學中存在的問題，如何進行概念教學，正是數學教師關注的．個人有幾點粗淺看法，供大家參考．

１． 借助直觀觀察，生成數學概念

生活中的實物、教具模型或多媒體呈現的圖片等都能幫助我們對所學概念進行認識和理解，需要經過反復實驗、反復觀察才能對所學概念有所理解，由表層向里層進行深化，借助概念的直觀背景對抽象的概念進行分解，達到提高教學的實效．如“軸對稱圖形”一節課，學生對生活中的軸對稱有一定的了解，但沒有完全形成什么叫軸對稱圖形，生活中的軸對稱到平面軸對稱圖形的認識還需要一個過程，這個過程就是從直觀到形成數學概念的認識過程，究竟這些圖形有什么共同特點學生沒有進行過思考，我們只有通過大量的實物、圖片進行直觀觀察，再歸納它們的共同特點，才完成對“軸對稱圖形”的認識．這樣生成的概念具體生動，印象深刻．借助直觀化生成的數學概念要求學生對這個問題必須有一定的認識基礎，只是沒有真正認識這一類事物的共同屬性，借助直觀化就可以使學生對這個知識進行強化，達到對概念本質的真正理解．

２． 借助對比方法，生成數學概念

有比較才有鑒別，對同類概念進行對比和探究，可以概括要生成概念所具有的共同屬性，突出要定義的概念的特有性質，這類概念的生成學生要有一定的知識儲備基礎，對于要生成的概念和關聯的概念都要有所了解，才能用即將生成的新概念與以前掌握的概念進行對比，有哪些相同點和不同點，達到對新生成概念的理解和認識．如分式這個概念，我們已經掌握了大量的代數式，在諸多的代數式中進行分類，整式是我們已經掌握的一個概念，剩下的式子與整式比較，有什么相同點和不同點，相同點都是代數式，不同點是這個式子分母含有字母，分母含有字母就是分式的屬性，我們把分母含有字母的代數式就叫分式．這樣形成的概念實現了新舊知識的相互對比，在某種意義上達到了相互作用，使生成的概念更有實效性．

３． 借助實際問題，生成數學概念

數學是來源于生活又應用于生活，很多概念的生成都是在實際背景中產生的，從大量的實際例子出發，找出一類事物的共同屬性，也就是這類事物的本質特征，同時對所發現的屬性進行不斷的分析，最后通過概括歸納形成新的概念．教材中也給我們提供了大量的實際例子，供教師教學使用. 如華師版的教材中“變量與函數”提供了四個例題，問題一是氣溫變化圖，問題二是存款問題，問題三是收音機頻率問題，問題四是圓的面積問題；人教版的這一節提供了五個實際例子．為我們教學設計搭設平臺，為概念生成做了充分的準備，在大量實際問題中感受兩個變量的關系，找出這些實物的本質屬性，生成函數概念．又如合并同類項，買進５個球又買進同樣的８個球，一共買進多少個球？學生都知道是１３個，列式為：５ ＋ ８ ＝ １３；接著問：２米 ＋ ３元 ＝ ？學生一定回答不能相加，為什么不能相加，學生只要回答不是一類的，就不能相加. 那下面單項式：２ａ２，４ａ，－５ａ２，■ａ２，－３ａ，１２ａ，１．３ａ2，哪些是一類的，哪些可以相加，怎樣相加？這個問題的研究過程就是概念和法則的生成過程，同時對同類項的概念也會探究清楚，知道了一個道理，同類的就可以相加，不是同類的就不能相加. 又如分式的另一種形式的引課，教材上的引入是：“做一做：（１）面積為２平方米的長方形一邊長ｂ米，則它的另一邊長為 米；（２）面積為Ｓ平方米的長方形一邊長ａ米，則它的另一邊長為 米；（３）一箱蘋果售價ｐ元，總重ｍ千克，箱重ｎ千克，則每千克蘋果的售價是 元.”對以上得到的結論進行分析，它們的共同屬性就是分母中含有字母，我們把具有這樣特點的代數式就叫分式．以上兩個例子都是借助實際問題生成數學概念，學生易接受．

４． 借助知識遷移，生成數學概念

數學知識與其他知識不同，它具有連續性，很多數學概念都是在相應的原有概念基礎生成的，新舊知識是有一定聯系的，是將舊知識遷移過來再加上新的條件生成新的知識，但思考問題的過程是相似的．如學習了一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程組，再學習一元二次方程時就應該通過復習舊知識，猜想一元二次方程是什么形式，同時還要與前面學習的方程進行聯系，將前面學習的“元”和“次”在一元二次方程中再次呈現，這種猜想過程就是概念生成的過程．又如學完全等三角形再學相似三角形時，要研究相似三角形有怎樣的判定定理，就應該先研究相似比是１的三角形有怎樣的判定定理，比方說“兩邊及夾角對應相等，兩個三角形全等”可以改為“兩邊相似比為１及夾角相等，兩個三角形相似”，這就可以再繼續遷移“兩邊相似比都為ｍ及夾角相等，兩個三角形就相似”．這是用知識遷移完成了定理的生成，實現了兩個概念或兩個定理間的聯系與遷移，形成更牢固的知識結構．

５． 借助知識結構，生成數學概念

在原有的知識范圍研究新的問題時，往往原有的知識結構不能解決我們需要解決的問題，原有概念的內涵在新概念的定義過程中已被揭示一部分，它們之間存在著一部分包含關系，只要抓住它們的本質特征，把新概念和原有概念進行對比聯系，就可以形成新的概念．比如，引進開方時，學生已知的是通過邊長可以求正方形的面積，但是給出正方形面積能不能求邊長？在現有的知識領域找不到這樣的數，才引進了開方，將知識領域擴大，這種擴大是解決問題的需要．又比如學習了正數之后，我們遇到了ａ ＋ １ ＝ ０，ａ是什么數，這個數我們以前學過的數中是找不到的，就要引進一個新數叫負數．這樣的學習過程，是培養學生思考問題的方法，在學習過程中不斷尋求新的知識產生．

數學概念的生成方法雖然不同，但是目標是一致的，都是讓學生通過自己的學習掌握新的知識、理解新的知識，真正明白所學的知識從哪里來還要到哪里去，在這個過程中也學會了思考和研究問題．同時也對教師在教學上提出了更高的要求，我們不僅是教學生，還要體現學生是怎么學，要把課堂交還給學生，因為只有學生才是課堂的主人．