有理數的運算技巧歸納

【摘要】 運算是數學學習的一個重要組成部分，也可以說是數學的一大特色. 在初中數學的學習中，有關于數的知識點，最大的一個變化就是引入了有理數，有關有理數的運算也變得更加豐富多彩，數從正數和零擴展到了負數，在運算上的種類也更加多，計算也變得更加復雜. 因此，學生們在進行相關的有理數運算的時候，要學會歸納和總結，善于提取經驗和方法，把復雜的運算簡單化.

【關鍵詞】 初中數學；數學教學；有理數的運算；運算方法

有理數的運算可以說是初中階段最基礎的一種運算，是必須要過關的. 剛升入初中的學生對代數的認識還是比較有限的，由于舊知識及舊思維習慣的影響，使很多學生在接觸有理數的運算時，總是會覺得很難適應，在計算時也常常會出錯. 本文將以一些典型例題來談談在有理數的運算中常用的一些有效的運算方法和技巧. 特別是在初中階段，計算題的考查更重要的一個方面是考查學生們的思維習慣、計算的方法和技巧，而不是讓學生們機械地進行一些復雜的計算. 因此，總結和學習一些實用的運算技巧也是非常有必要的.

一、湊整法

湊整是數學運算中最基礎的一種簡便運算方式，在小學階段就有過接觸. 湊整法的目的就是把一個算式中能夠湊成整十或整百的數先湊到一起進行運算，也可以通過引入數字，對原式中的數進行湊整，從數字上簡化運算，實現快速且準確的計算.

例１計算89 + 899 + 899 + 89999 + 899999.

解析 原式 ＝ 90 - 1 + 900 - 1 + 9000 - 1 + 90000 - 1 + 900000 - 1 + 999990 - 5 = 999985.

點評 當式子中的數接近某個整十或整百數時，湊整法是最先要考慮的，如題中，通過湊整的方式實現了口算，快速且準確.

二、分解法

分解法主要就是根據需要對某些數或式子進行分解，從而簡化運算.

例２ 57 × ■ + 27 × ■.

解析 原式中不能進行約分，可以在整數部分構造出一個與分母相同的數來簡化運算．

原式 ＝ （５６ ＋ １） × ■ ＋ （２８ － １） × ■ ＝ （５５ ＋ ２７） + ■ - ■ = 28■.

點評 通過拆分的方法把數字拆成與分母相關的數，在計算中就可以進行約分，從而讓計算變得更加簡單.

三、結合法

結合法就是把能進行簡單運算的數結合到一起，比如說同分母的分數結合在一起，就可以免去通分，直接進行計算.

例３ ■ + ■ + … + ■ + ■ +

■ + ■ + … + ■ + ■ + … + ■ + ■ + ■.

解析 原式 ＝ ■ + ■ + ■ + … + ■ + ■ + ■ ＝ ８８５.

點評 關于分數的加減，最好的方法就是免去通分，直接加減，而在分數的乘除法中，最好的方法就是能夠約分. 這是兩種簡化分數運算的常用方法.

四、裂項法

裂項法一般就是把一個分數拆成兩項相加或相減，在前后項的連續運算中進行抵消，最后轉化成為簡單的運算.

例４ 計算■ + ■ + ■ + ■.

解析 原式 ＝ ■ + ■ + ■ + ■

＝1 - ■ + ■ - ■ + ■ - ■ + ■ - ■

＝1 - ■ = ■

點評 通過裂項，把一個分數拆成兩個分數的差，與前后的項互相抵消，運算就簡單了，這是一種很典型的計算題，方法和思路也是比較固定的，一般是先將原式中分母拆分為兩個連續自然數的乘積.

五、巧用公式

在初中階段的計算中，常會用到平方差或完全平方公式對算式進行變形計算，公式比較簡單，但要能夠靈活運用還是需要一定的技巧的.

例５ 計算（１ ＋ ２）（１ ＋ ２２）（１ ＋ ２４）（１ ＋ ２８）.

解析 因為１＝ ２ － １.

所以，原式 ＝ （２ － １）（２ ＋ １）（１ ＋ ２２）（１ ＋ ２４）（１ ＋ ２８） ＝ （２２ － １）（１ ＋ ２２）（１ ＋ ２４）（１ ＋ ２８） ＝ （２４ － １）（１ ＋ ２４）（１ ＋ ２８） ＝ （２８ － １）（１ ＋ ２８） ＝ ２１６ － １.

點評 公式的靈活運用，首先要明確使用公式的算式中的一些特征，看到題目中出現了平方，我們就要想到有關平方的一些公式，而“１”是比較特殊的，可以寫成12，像這樣的一些分析方法和解題技巧是需要平時積累的.

六、換元法

換元法不一定就是在解方程組中使用，在一些算式中，如果總是出現某個相同的代數式，并且這個代數式還比較復雜，那就可以考慮使用換元法先將算式化簡，再進行計算.

例６ 計算■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ×

■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■－

■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ + ■ ×

■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■.

解析 設■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＝ ａ，■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＝ ｂ，那么ａ － ｂ ＝ ■.

原式 ＝ ａｂ ＋ ■ － ａ ＋ ■ｂ ＝ ａｂ ＋ ■ａ － ａｂ － ■ｂ ＝ ■（ａ － ｂ） ＝ ■.

點評 像這種題目，如果按照正常的計算方法，肯定是很難的，計算量相當大，而通過換元法，把算式先化簡之后再計算，就簡單了很多. 這種類型的題目特征也很明顯，就是相對復雜的代數式重復出現，代數式之間存在著某種關聯，這樣就可以用假設的方式用字母代替這個代數式再進行化簡運算.

七、乘方的巧算

乘方是初中階段學習的又一種運算方式，在乘方運算中，如果指數特別大，是很難算的，而乘方的運算同樣也可以通過巧妙的方法來簡化計算．

例７ 計算（－０．１２５）12 × -1■7 × （-8）13 × -■9.

解析原式＝ -0.12512 × ■7 × 813 × ■9 = -（0.125 × 8）12 × ■ × ■7 × 8 × ■2 = -1 × 1 × 8 × ■ = -2■.

點評 這道題目中是通過把指數不同的式子轉化成為指數相同的算式，再通過積的乘方公式把相應的算式合并起來，簡化計算.

綜上所述，有理數的運算題型是多種多樣的，在解題時要先觀察算式中的數字和算式結構，結合算式的特征選定適當的方法進行計算. 這樣不僅能提高計算的正確率，還能節省時間. 因此，在平時的練習中要善于總結和反思，歸納出一套有效的解題方法，提高計算及解決問題的能力.

【參考文獻】

［１］錢唐兒．有理數計算的若干技巧．數學大世界：初中版，２０１３（11）.

［２］趙國瑞．有理數混合運算需要具備五種意識．語數外學習：七年級（上旬），２０１３（9）.

［３］孫桂紅．有理數乘除運算有技巧．初中生學習指導：初一版，２０１３（9）.