取象比類方法在復變函數教學中的應用

摘 要：取象比類法在教學中起著非常重要的作用，本文利用大家熟悉的三角函數——正弦函數說明了復變函數中一些函數進行單葉性區域劃分的意義及初等多值函數函數為何有單值解析分支，這是取象比類法在復變函數中的一個重要應用。

關鍵詞：取象比類 復變函數 多值函數

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（a）-0087-01

多值函數在復變函數中是一個重要而難理解的內容，由于學生接觸的大部分函數都是有單值函數，所以對于多值函數尤其是其反函數的單葉性區域及其本身的單值解析分支的概念令學生非常苦惱，學生會很難理解研究初等多值函數為什么先要研究其反函數的單葉性區域，比如說為了研究，課本首先從其反函數的單葉性區域講起，如果直接按照定義去教給學生的話，只能是讓學生死記概念，很難理解為什么要劃分單葉性區域，為什么會有單值解析分支。此時，運用取象比類法來教授這部分內容會令學生茅塞頓開，不僅理解了概念，對如何劃分單葉性區域，如何取其單值解析分支也會非常清晰。所謂取象比類，是指運用帶有感性、形象、直觀的概念、符號表達對象世界的抽象意義，通過類比、象征方式把握對象的思維方法，又稱為“意象”思維方法。具體地說，就是在思維過程中以“象”為工具，以認識、領悟、模擬客體為目的的方法。取“象”是為了歸類或比類，即根據被研究對象與已知對象在某些方面的相似或相同，推導在其他方面也有可能相似或類同。教授初等多值函數這部分內容，我們可以從大家最熟悉的函數三角函數入手。三角函數幾乎是初中生就能理解的內容，從最簡單的正弦函數開始，學生會覺得簡單、親切。我們從正弦函數入手，來說明為什么研究多值函數，要先研究反函數的單葉性區域。眾所周知，正弦函數，其定義域為，值域為，其圖像如圖1所示。

圖1中僅為兩個周期內的函數圖象。

正弦函數是周期函數，其最小正周期為，在區間上為單調遞增函數，而在區間上為單調遞減函數。我們知道，在整個定義域內其反函數是不存在的，因為一個，有多個與之對應。但如果按多值函數“理解”的話，其反函數是多值函數。但具體地說，其反函數很難表示出來，圖象也很難畫出。如果我們按照單調區間給它劃分一下再找反函數會容易的多。我們知道，單調函數一定存在反函數，因此，在正弦函數的任意一個單調區間其反函數一定存在。高中時候我們把定義在上的正弦函數所取的反函數定義為，其實按照復變函數中多值函數概念的理解，定義在不同的單調區間的正弦函數都能取反函數，其反函數是無數個分支，如圖2。

實線部分的曲線為我們通常所認識的，虛線圖象可分別理解為正弦函數反函數的分支，它們是分別在正弦函數的定義域和上所取的反函數，每一個分支又是單調、連續可微函數。

由此例我們可以看出，正弦函數取反函數將其定義在單調區間上就是為了找到也是單值的連續可微反函數。而我們研究多值函數，可以將其“看成”為的反函數，為了找到單值的反函數，我們也要找到類似于正弦函數單調區間的一個區域即單葉性區域，使得定義在該區域內的函數有單值反函數即單值分支。我想如果從大家最熟悉的這個三角函數入手的話學生對初等多值函數的理解會更加深刻一下。

在復變函數的授課中還有很多內容可以用到取象比類的方法，從整本書內容的安排到各章內容都與數學分析有著很多相似之處，如果對比數學分析去講復變函數的話不僅可以讓學生學好復變函數也可以令學生對數學分析理解得更加深刻。

參考文獻

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