基于MATLAB的根軌跡仿真實驗設計

摘 要：在自動控制原理課程實驗中，提出了以MATLAB作為工具的根軌跡仿真實驗設計思路，從根軌跡的繪制、系統性能分析和系統校正三個方面入手，綜合訓練學生對根軌跡分析法的理解和應用。教學實踐表明，該實驗有利于學生全面掌握所學知識，提高分析、解決實際問題的能力。

關鍵詞：根軌跡 仿真 實驗 MATLAB

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（a）-0056-02

控制系統的根軌跡分析與設計是自動控制理論中非常重要的一種方法，也是在工程實際中得到廣泛應用的一種圖解方法，在自動控制原理課程教學中占有重要地位。傳統的根軌跡實驗需要手工繪制系統的根軌跡圖以及大量的計算，效率低，且很難得到精確的結果[1]；而MATLAB中提供了繪制和分析根軌跡的函數，可以非常方便、直觀的得到系統的根軌跡，因此，我們將MATLAB引入到自動控制原理實驗教學中，設計基于MATLAB的根軌跡仿真實驗。

1 根軌跡仿真實驗設計

根軌跡仿真實驗不但要求學生掌握繪制根軌跡的方法，而且能夠根據根軌跡圖分析系統的性能，更進一步地，當系統性能不滿足要求時，能夠正確設計校正裝置，改善系統的性能。因此，仿真實驗由繪制根軌跡、性能分析和系統校正三部分組成。

（1）繪制根軌跡。

MATLAB中提供了rlocus（ ）函數，可直接用于控制系統根軌跡的繪制，調用格式rlocus（num，den），其中num為系統的開環傳遞函數分子多項式的系數向量，den為系統的開環傳遞函數分母多項式的系數向量，多項式各項按s的降冪排列。

在繪制的根軌跡圖上，用鼠標左鍵單擊曲線上的任一點，將顯示關于這個點的有關信息，包括該點的增益值，對應的系統特征根的值和可能的閉環系統阻尼比和超調量等[2]。

在MATLAB中，提供了rlocfind（ ）函數用于獲取選定點對應的閉環極點和增益K的值。該函數的調用格式為：[k，r]=rlocfind （num，den）。根軌跡繪制完成，執行rlocfind命令時，出現 “Select a point in the graphics window”的提示語，即要求在根軌跡圖上選定一個點，根軌跡圖上出現“+”標記，將鼠標移至根軌跡圖上的選定位置，然后單擊左鍵確定，就得到了選定點的閉環根r和增益K的返回變量值[3]。

（2）性能分析。

系統的性能分析主要是穩定性、動態性能和穩態誤差三個方面。穩定性分析的關鍵是求根軌跡與虛軸的交點，有兩種方法：一種是單擊該點，從顯示信息中讀取該點的增益值；另一種是應用rlocfind命令求出根軌跡與虛軸交點的增益值。

繪制系統的根軌跡曲線后，應用grid命令可以在根軌跡曲線上疊畫出等阻尼比線和等自然頻率線，根據等阻尼比線可以進行基于根軌跡的性能分析與設計。例如，單擊的等阻尼比線與根軌跡的交點，得出對應的增益K的值，然后繪制系統的單位階躍響應曲線，從而分析系統的動態性能。

（3）系統校正。

MATLAB提供了一個非常有用的校正工具rltool，它是一個應用根軌跡方法分析系統性能的圖形界面窗口，可以在界面上可視地設計整個前向通路的控制器（即添加、移動零極點），從而改善系統的性能。首先通過調用命令：rltool或rltool（G），其中，G為系統的開環傳遞函數，打開rltool工具的圖形界面，在界面上會顯示系統的根軌跡圖。然后單擊圖形界面菜單命令Analysis的下拉菜單中的Response to Step Command命令，則彈出一個新的圖形窗口，顯示系統的閉環階躍響應曲線，如果系統性能不滿足要求，需要設計一個控制器來改善系統的性能。單擊界面上的零點和極點添加的按鈕，可以給系統添加零極點，在根軌跡曲線上拖動添加的零極點的位置，并調整控制器增益的值，通過觀察系統的閉環階躍響應曲線的變化，則可以試湊地設計出滿足要求的系統控制器。此時，圖形窗口分別顯示的是經控制器校正后的系統根軌跡圖和階躍響應曲線。可見，rltool是應用根軌跡法對系統進行綜合和設計的非常方便、實用的工具[4]。

2 實例

設控制系統的開環傳遞函數為：

，試求：（1）系統的根軌跡；（2）系統穩定的K*值范圍；（3）若系統不穩定，附加零點，使系統具有的閉環主導極點。首先調用matlab函數G=tf（[1]，[1，3，0，0]）； rlocus （G）；繪制系統的根軌跡，如圖1所示。由圖1可知，原系統始終有兩條根軌跡分支完全位于s右半平面，K*無論取何值系統都不穩定。給系統附加一個b=-1的開環零點，根軌跡如圖2所示。由圖2可知，系統絕對穩定，并能獲得滿足性能要求的閉環主導極點。

3 結語

采用MATLAB可以方便地繪制精確的根軌跡圖，并可觀測參數變化對特征根位置的影響，從而對系統性能進行分析和校正。教學實踐表明，該實驗有利于訓練學生全面掌握所學知識，提高分析、解決實際問題的能力。

參考文獻

[1]劉振全，薛薇，齊國元.自動控制理論課的實驗教學改革探討[J].電氣電子教學學報，2005，27（2）：90-92.

[2]薛定宇.控制系統計算機輔助設計-MATLAB語言與應用[M].3版.北京：清華大學出版社，2012.

[3]張彩霞，張志飛.基于MATLAB的“自動控制原理”實驗教學[J].實驗室科學，2007（2）：123-124.

[4]陳艷菲.倒立擺在自動控制原理綜合實驗中的應用[J].中國科教創新導刊，2013（32）：94-96.