基于初等幾何的高等幾何的教學(xué)研究

摘要：高等幾何課程是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的必修課之一，長(zhǎng)期以來(lái)學(xué)生總認(rèn)為它對(duì)中學(xué)的幾何教學(xué)沒有任何幫助。本文從幾個(gè)方面探討了高等幾何對(duì)初等幾何學(xué)習(xí)的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：高等幾何；射影幾何；蝴蝶定理

《高等幾何》課程屬于高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課之一，在數(shù)學(xué)教育專業(yè)的課程中它與《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》早期被稱為是數(shù)學(xué)專業(yè)課程的“三高”（又或稱為老三高），可見它在數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)中是十分重要的課程之一。我們可以把《高等幾何》的教學(xué)目概況總結(jié)為兩點(diǎn)：其一是通過學(xué)習(xí)《高等幾何》這門課程讓數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生知識(shí)領(lǐng)域更為廣闊，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)好其它數(shù)學(xué)專業(yè)的課程打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其二是經(jīng)過高等幾何的研究學(xué)習(xí)能夠讓學(xué)生對(duì)中學(xué)幾何理論與方法的理解有更深刻的認(rèn)識(shí)，從而使他們?cè)诋厴I(yè)之后走上講臺(tái)可以站在一個(gè)比較高的角度來(lái)處理和解決中學(xué)幾何中的問題。

一、通過高等幾何的學(xué)習(xí)了解歐氏幾何和射影幾何的關(guān)系，可以加深對(duì)初等幾何的理解

我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)習(xí)的幾何可以統(tǒng)稱為歐氏幾何，在大學(xué)里，我們學(xué)習(xí)的高等幾何其中包含了仿射幾何和射影幾何。通過高等幾何的學(xué)習(xí)我們應(yīng)該讓學(xué)生指導(dǎo)他們之間的關(guān)系。就幾何的大小而言，射影幾何學(xué)仿射幾何學(xué)歐氏幾何學(xué)。讓學(xué)生了解，我們中學(xué)學(xué)習(xí)的幾何（歐式幾何）只是我們高等幾何講解的射影幾何的一個(gè)特例。另外一個(gè)方面，又由于集合越大，它們共性就會(huì)越少，因此我們?nèi)绻麖难芯康膬?nèi)容上來(lái)看，這幾個(gè)幾何的關(guān)系應(yīng)該是：

射影幾何學(xué)仿射幾何學(xué)歐氏幾何學(xué)。從這個(gè)角度，我們可以讓學(xué)生了解到為什們我們大學(xué)學(xué)習(xí)的射影幾何學(xué)的內(nèi)容比較少，而中學(xué)學(xué)習(xí)的歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容卻比較豐富的原因。在學(xué)習(xí)高等幾何的時(shí)候，老師要讓學(xué)生了解這種幾何學(xué)之間的區(qū)別和聯(lián)系，從而也就擴(kuò)大學(xué)生關(guān)于幾何的視野。讓他們可以站得更高看得更遠(yuǎn)。

二、利用高等幾何知識(shí)證明初等幾何題

1、 利用Desargues定理證明初等幾何題

在初等幾何里我們學(xué)習(xí)了，三角形三線共點(diǎn)，我們還記得它的證明非常的麻煩。下面我

們利用高等幾何來(lái)證明其中的一個(gè)定理。

通過這個(gè)例子，我們應(yīng)該讓學(xué)生知道，利用高等幾何的知識(shí)來(lái)解決中學(xué)的一些問題比利用歐氏幾何來(lái)解決要簡(jiǎn)單的多。

2、利用交比、調(diào)和比證明初等幾何題

通過高等幾何的學(xué)習(xí)我們知道交比是射影不變量，我們可以利用它的定義及性質(zhì)證明初等幾何中的共點(diǎn)線、共線點(diǎn)、角分線、線段相等等問題。

例2、過圓的弦AB的中點(diǎn)O任作另外兩弦CE，DF，連結(jié)EF，CD交AB于G，H。求證：GO=OH。（蝴蝶定理）

三、利用高等幾何知識(shí)指導(dǎo)中學(xué)幾何作圖問題。

參考文獻(xiàn)：

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