線性代數課程教學中數學思想的傳遞與熏陶

摘要：由于各種主客觀因素的影響，目前工科線性代數教學中往往只是一味的介紹知識，而忽略了數學思想的滲透與引導，使學生對原本就枯燥的數學更加排斥，事倍功半。文章以作者多年的教學實踐為基礎，從等價關系、公理化思想、線性變換、從具體到一般的推廣、空間和同構、算法等六個方面找到數學思想與教學內容的切入口，指出線性代數課程向學生傳遞數學思想的途徑，從而加深學生對數學知識的理解，提高學生的數學素養和數學興趣。

關鍵詞：教學改革線性代數數學思想數學素養

一、引言

數學是現代科技的基礎和基本工具，尤其對于理工科科技從業人員。那么在高校的學生培養和數學教學中，如何強化數學思想的傳遞，從而加深學生對數學知識的理解，提高學生的數學素養和數學興趣就很重要了。

文章依據作者多年的線性代數教學實踐，總結了本課程中引入數學思想的切入口和結合點，以期拋磚引玉，供同行進一步探討與提高。

1. 什么是數學思想

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識[1]。數學思想是數學觀點、方法的總結與提升，是數學知識中更深刻更凝練更本質的知識。對于學習者而言，數學思想既有綱領式的指導意義，也有總括式的歸納總結意義。而對于創造者而言，它則更具有啟發性。在學習中應予以充分的重視。

2.理工科數學教學中向學生傳遞數學思想的重要性

對于理工科專業人才的培養，在全國乃至全世界數學課程都是公共必修基礎課，都是學習專業知識的基礎和基本工具，可見其必要性和重要性。對于學習者而言，必要的數學知識更是其創新技術，作出原創性成果的必備基礎和堅強后盾。

目前各高校都在進行教育教學改革，教學方面理論學時被壓縮，數學課程也不可幸免。線性代數從最初的64學時壓縮到48學時再到如今的32學時。再加上課程考試、國慶等假期的影響，實際授課學時往往只有28學時左右，有效授課時間捉襟見肘。另一方面，大學數學的教學內容都是最基本的高等數學知識，在量上很難舍棄。又由于數學知識的前后連貫性強，更不可斷章取義，這就導致課程內容幾無壓縮空間。再一方面學生剛剛從中學進入大學學習，其對專業知識滿懷期待但又缺乏認知，尚不能意識到數學知識的必要性和重要性。再加上數學本身不那么簡單易學，這就使學生容易厭學數學，對數學重視程度不夠。

鑒于以上諸多因素，應加強數學思想在教學中的引入，強化數學思想的傳遞，加深學生對數學知識的理解和認識，提高學生的數學素養和數學興趣。古人云，授人以魚不如授人以漁。漁是什么？漁就是思想方法。在教學中引入數學思想，一方面是現代數學教育的要求，是“提綱挈領”理解掌握數學知識的需要；另一方面是解決教學實際中學時少內容多這一矛盾的關鍵。將數學思想作為引導，學生更容易從整體把握所學內容。這不僅提高了學生的數學素養，也提高了其學習興趣，事半功倍。

3. 加強數學思想的教學對教師提出更高要求

在課堂中潛移默化地強化數學思想的傳遞，對教師自身的數學修養、教學技術等都提出更高要求。一方面，教師需要學習更多更現代的數學知識，進而濃縮提煉出思想方法，另一方面，需要找到這些思想性的知識與現行理工科本科教學內容的銜接點和切入口。并且需要尋找較“低等”的數學語言來傳授高等的抽象的現代的思想方法。這些都對教師自身修養提出更高的要求。

二、以學科知識為載體，傳遞數學思想，提高數學素養

在目前的教學內容、學時安排和學生接受能力等主客觀條件的約束下，可以將以下幾個方面的內容和方法融匯于課堂教學中，突出其綱領脈絡的地位，啟發和引導學生在掌握知識的同時，學習體會數學思想精髓，加深對于概念定理的理解，從感性認識上升到理性認識，并推動擴大對于代數乃至整個數學學科的理解和領悟，提高學生的數學素養。

1.等價關系

課程中涉及到等價關系的知識點很多，并且等價的思想貫穿課程的始終。集合上的一種等價關系，必然等效于集合上的一個劃分，并因此產生等價類，產生商集。在同一個等價類中，有相應的等價不變量以及完全等價不變量。等價不變量是等價類中各對象的共性，具有重要的意義，在數學研究中，相當部分的工作都與分類有關。因此，等價關系、等價類、等價不變量的思想對于學生進一步學習數學具有很好的啟蒙作用。

行列式可按一行（列）展開，那是否能按多行（列）展開呢？有了從具體到一般的推廣思想，那么由一行展開公式必然誘導人們去思考按多行展開的問題。這樣就產生了行列式按多行（列）展開的Laplace展式。顯然Laplace展式的應用更廣更有效。例如對于含零較多的行列式，Laplace展式應用起來更快捷。

5. 空間和同構

線性代數中涉及到數學中的一些重要概念。這些概念本身就具有一般性。

空間是數學中涉及最廣的概念之一，在大學的公共基礎課線性代數中首次詳盡闡述。當給一個集合賦予特定的結構時，就構成一個空間，即“集合+結構”就是空間。如線性空間、度量空間、Banach空間等。空間構成數學研究的基本范圍和對象。這樣的概念當然很重要了。

同構是線性代數中涉及的另一個類似的概念。兩個空間之間如果可以建立雙射，并且該雙射對于空間的結構也是保持的，那么這兩個空間就同構。例如一般的線性空間與通常向量空間的同構、度量空間的等距同構等。兩個同構的空間具有相同的結構，可以將其中研究的較成熟的一個空間的相應結論直接應用到另一個新的抽象的空間中去。這樣不僅減少很多工作量，也加深了對數學及自然界的認識。

6. 算法

另一個需要提及的問題就是“算法思想”。線性代數只是最初級的基礎課。對于理工科學生而言，后續的矩陣論、計算方法等都是將來工程計算的必備工具。在后續課程中將重點研究如何更快捷更實際可行地計算復雜的工程問題。但線性代數中已涉及到類似的思想。在求解線性方程組時若其系數矩陣是可逆矩陣，則可以用Cramer法則求解也可以用Gauss消元法求解。似乎Cramer法則有一般的公式，更通用易行，而Gauss消元法由于主元選擇的主觀性，似乎無固定方法，通用性差。實則不然，工程中涉及幾百、幾千未知量的線性方程組是司空見慣的事，若要用Cramer法則計算，其運算量相當龐大，即使用現今最先進的計算機，也超出了工程時限要求而不可行。相反，Gauss消元法不僅可以通過固定的步驟完成，而且資源占用少，只需少許時間就可完成計算，具有工程實用性和可行性。

三、教學實踐與小結

在教學實踐中，由于學時限制，可以將課程中簡單易學的部分，尤其是許多程式化的運算，下放給學生自學，而對于難的抽象的部分由教師系統講解。在教學中融入數學思想的啟發與熏陶，不僅加深了學生對課程內容的理解，強化了對知識的融會貫通，也提高了學生對于數學學習的興趣，達到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1]滕燕. 論數學思想和數學方法.青海師專學報，2004，5：44-45.

[2]丘維聲.高等代數（上冊、下冊）.北京：高等教育出版社，1996.

[3]藍以中.高等代數簡明教程（上冊）. 第二版，北京：北京大學出版社，2007.

[4]吳贛昌.線性代數（理工類）第四版.北京：中國人民大學出版社，2011.

[5]屠伯塤. 線性代數方法引導.上海：復旦大學出版社，1986.

[6]莫里斯.克萊因.古今數學思想（第一版）.上海：上海科學技術出版社，2002.