對《高等數學》教材中兩個問題的再思考

摘 要：分析出了教材中存在的兩個邏輯推理不太周密的問題，通過嚴謹的推理分析，闡述了問題的癥結所在，并推薦了合適的解決方案，維護了數學理論的周密性、嚴謹性，避免了疏漏、草率的推理過程給廣大讀者帶來的額外思慮。

關鍵詞：高等數學；問題；不定積分；微分方程；通解

在《高等數學》教材[1]中，筆者認為有兩個問題處理得不很妥當，有必要提出來，和大家共同再思考討論一下。現結合原教材內容說明如下：

一、關于求不定積分的一道例題

為便于說明，下面先摘錄教材[1]中的原例題及其簡要解答過程（參見教材[1]第105頁）：

例.求■■dx.

解令x=asint（-■

于是■■dx=■a2cos2tdt=a2■■dt=■t+■sin2t+C.

為把t回代成x的函數，可根據sint=■作輔助直角三角形，如圖1：

■

圖1 圖2

得cost=■，所以■■dx=■arcsin■+■x■+C.

反復思考、詳細推敲，不難看出此解法只是a>0時的特殊情況，忽略了a<0時的情況，顯得草率、不夠嚴謹。給出上面a>0時的解答后，如果再補出下面的內容，更為妥當：

當a<0時，令x=asinu（-■

■=-acosu且dx=acosudu，

則■■dx=■（-a2）cos2udu=-a2■■du

=-■u-■sin2u+C=-■u-■sinu·cosu+C

仍作輔助直角三角形以便于把u回代成x的函數，如圖2：

得cosu=-■，所以，■■dx=-■arcsin■+■■+C，（a>0）

綜合上述兩種情況，知

■■dx=■arcsin■+■■+C，（a>0）-■arcsin■+■■+C，（a<0） .

另外，根據微分與積分的互逆運算關系，通過檢驗的辦法（將積分結果求導，看求導的結果是否等于被積函數），也可以證明教材[1]中的解法確實欠妥：

當a>0時，注意到a=■，則■arcsin■+■■+C=■，

當a<0時，注意到a=-■，則-■arcsin■+■■+C=■.

在有些教材的這個問題中，附有a>0的限制條件，避開了a<0時的情況，如：《高等數學》[2]《高等數學》（一）[3]等，這樣處理比較好，既能使問題簡化，又無以偏概全之嫌，不至于引起誤解。

二、關于二階常系數線性齊次微分方程的通解

教材給出了二階常系數線性齊次微分方程y″+p′y+qy=0（以下簡稱方程Ⅰ）在三種情況下的實數形式的通解，其中有一種情況如下（參見教材[1]第157頁）：

當特征方程r2+pr+q=0有一對共軛復根時，即r=α±iβ（其中α、β均為實常數且β≠0），此時方程Ⅰ有兩個線性無關的解y1=e（α+iβ）x和y2=e（α-iβ）x.

故方程Ⅰ的通解為y=Ae（α+iβ）x+Be（α-iβ）x=eax（Aeiβx+Be-iβx）

利用歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，還可得到實數形式的通解y=eax（C1cosβx+C2cosβx），

其中C1=A+B，C2=（A-B）i.通常情況下，如無特別聲明，要求寫出實數形式的解。

認真分析一下就會發現，由于A、B都是實常數，那么，C1=A+B是實常數，C2=（A-B）i只有在A=B時，才是實數0，在A≠B時，就是虛數了。

顯然，A≠B時，通解y=eax（C1cosβx+C2cosβx）中仍含有虛數，怎么會是實數形式的通解呢？到此，已經看出教材[1]中這段內容的疏漏之處。

這里不妨借鑒一下別的教材中處理這個問題的方法和思路（參見教材《高等數學》（下冊）[4]、《高等數學》（下冊）[5]）：

仍設特征方程r2+pr+q=0的一對共軛復根是r1=α+iβ、r2=α-iβ（α、β均為實常數，且β≠0），那么，方程Ⅰ有兩個線性無關的特解

y1=e（α+iβ）x=eax·eiβx=eax（cosβx+isinβx）

與y2=e（α-iβ）x=exa·e-iβx=eax（cosβx-isinβx），

由齊次線性方程解的疊加原理，得

y3=■y1+■y2=eaxcosβx與y4=■y1-■y2=eaxsinβx

也都是方程Ⅰ的特解，且■=cotx不是常數，y3與y4線性無關，所以y=C1y3+C2y4=eax（C1cosβx-C2isinβx）就是方程Ⅰ的通解。

參考文獻：

[1]侯風波.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2010：105；157.

[2]鄭桂梅.高等數學[M].長沙：國防科技大學出版社，2008：112.

[3]鄭世斌.高等數學（一）[M].北京：中國商業出版社，1994：228.

[4]教育部高等教育司.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，1999：384-385.

[5]同濟大學數學教研室.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，1988：408-409.

（作者單位 河南科技學院高等職業技術學院）

？誗編輯 薄躍華