數列教學中數學思想方法的應用

數學思想方法是數學概念、理論的相互聯系和本質所在，是對數學規律的理性認識和本質體現。數學思想方法的教學是我們數學教學中所要探討的一個重要問題。學生在數學學習中掌握了數學思想方法，既可以提高理論水平，又可以用它指導做題實踐。筆者認為《數列》教學中只有重視“數學思想方法”的挖掘與運用，讓學生站到思想的高度去認識數列的本質，才有利于學生學好數列知識。

一、函數與方程的思想

函數與方程的思想是指用函數的概念、性質、圖像去分析問題、轉化問題和解決問題的一種重要的思維方式，是很重要的數學思想。它就是用運動、變化的觀點，分析、研究某具體問題中的一些相互制約的變量，通過建立函數關系來研究這些變量之間的相互制約、相互聯系的特點，最后使問題獲得解決。

例1.等差數列{an}中，a1<0，S9=S12，求數列前多少項和最小。

解法一：由S9=S12，得9a+■d=12a1+■d，得3a1=-30d，d=-■a1，∵a1<0∴d>0，∴Sn=na1+■n（n-1）d=■dn2-■dn=■（n-■）2-■d∵d>0∴Sn有最小值，又∵n∈N*，∴n=10或n=11時，Sn取最小值，最小值為-55d，即S10或S11最小，且S10=S11=-55d

解法二：由解法一知，d=-■a1>0，又∵a1<0，∴數列{an}為遞增數列。令an≤0an+1>0即a1+（n-1）d≤0a1+nd>0？圯a1+（n-1）（-■a1）≤0a1+n（-■a1）>0？圯1-■（n-1）≥01-■n<0？圯10

∴數列的前10項均為負值，a11=0，從第12項起為正值。

∴n=10或11，Sn取最小值。

解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0，∴3a11=0，a11=0

又∵a1<0 ∴數列為遞增數列。

因此，數列的前10項均為負值，a11=0，從第12項起為正值

∴當n=10或11時，Sn取最小值。

點評：在解決數列問題時，可以把數列看作特殊的函數，本題以函數思想為指導，以數列知識為工具，考查了數列的最值問題。

二、分類討論思想

分類討論思想體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。進行分類討論時，我們要遵循的原則：分類的對象是確定的，標準統一，不遺漏，不重復，科學的劃分，分清主次，不越級討論，最主要的是“不重不漏”。在數列中需要進行的分類討論主要有以下三個方面：①涉及等比數列的前n項和公式時注意對公比的討論；②求前n項和公式時，要注意對n的奇、偶數的討論；③對數列中涉及絕對值時或其他參數時，要注意相應內容的討論等。

例2.數列{an}中，a1=8，a4=2，則滿足an+2-2an+1+an=0（n∈N*）

（1）求數列{an}的通項公式

（2）設Sn=a1+a2+…an，求Sn

解答：（1）因為an+2-2an+1+an=0，所以an+2-an-1=an+1-an（n∈N*），即數列{an}是等差數列，設其公差為d，又a1=8，a4=2，即a1+3d=2，從而d=-2，于是an=10-2n

（2）由an=10-2n≥0an+1=10-2（n+1）<0

解得4

當n≤5時，Sn=a1+a2+…+an=■=-n2+9n；

當n>5時，Sn=a1+a2+…+a5-（a6+a7+…+an）=2（a1+a2+…a5）-（a1+a2+…+an）=n2-9n+40

點評：分類討論思想是高中數學中最重要的思想方法之一，它涉及的范圍很廣，每年都是高考必考的思想方法。2013年浙江高考理科數學第18題就考到了此類問題。

三、化歸與轉化的思想

等價轉化就是將研究對象在一定條件下轉化并歸結為另一種研究對象，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題，這是解決數列問題重要方法。

例3.已知數列{an}中an=■，則該數列的前50項中最大的項數是_____

解析：根據函數的斜率知識即考慮點（n，n）與點（■，■）的斜率，畫圖可知答案為9。

點評：化歸是一種探尋問題本質的過程，這也是我們能脫離“題海戰術”，提高一點解題能力的有效策略，例3把數列問題化歸為函數問題解決，大大降低了此題解決的難度。通項所具有的特性就是數列中每一項所具有的特性，這是數列的本質特征，為此，對通項化歸是研究數列問題的一種重要思想方法。

四、整體思想

整體思想，就是在研究和解決相關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法，從整體上認識問題、思考問題，常常能化繁為簡，變難為易，同時又能培養學生思維的靈活性、敏捷性。

例4.已知a1=3，an+1=5an+4，求數列{an}的通項公式

解答：由an+1=5an+4，得an+1=5（an+1） 即■=5

∴數列{an+1}是以a1+1=4為首項，5為公比的等比數列

∴an+1=4·5n-1 ∴an=4·5n-1-1

點評：本題是把an+1看成一個整體構造成一個等比數列，從而使本題處理起來十分簡單。

五、性質思想

等差數列和等比數列是兩種特殊的數列，它們有許多典型的性質。對這兩種數列的項的研究，既可以從定義出發，也可以從性質出發。由于性質是數列所蘊含特性的一種本質揭示，因此，從性質出發去研究常常可以使問題更加簡化。

例5.在等差數列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則a9-■a11=

分析：由{an}是等差數列，得a4+a12=a6+a10=2a8，

所以a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120，解得a8=24，

于是a9-■a11=（a8+d）-■（a8+3d）=■a8=16

點評：以上用到了等差數列的兩個性質：（1）若i+j=p+q（i，j，p，q∈N*），則ai+aj=ap+aq；（2）an=am+（n-m）d（n>m，m，n∈N*）。

（作者單位 浙江省武義第三中學）

？誗編輯 薄躍華