徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法

摘要：針對(duì)隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)非正態(tài)分布響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布輸入之間的復(fù)雜非線性隱函數(shù)擬合不夠理想的問題，基于徑向基函數(shù)在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，提出使用徑向基函數(shù)替換Hermite多項(xiàng)式來解決復(fù)雜非線性隱函數(shù)擬合問題。以若干個(gè)非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性問題作為算例，驗(yàn)證該方法對(duì)非正態(tài)分布響應(yīng)擬合的精確性和對(duì)工程問題的適用性。算例結(jié)果表明，基于徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)高度非線性的響應(yīng)與輸入隱函數(shù)擬合較好；在多參數(shù)鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題中，精度較高，且比Hermite多項(xiàng)式樣本點(diǎn)數(shù)量少。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)響應(yīng)面法；徑向基函數(shù)；非正態(tài)分布響應(yīng)；極限承載力；鋼管混凝土拱

中圖分類號(hào)：U441

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：16744764（2014）02004206

Abstract：For nonideal interpolation results of complex implicit nonlinear functions between nonnormal distribution response and standard normal distribution inputs using stochastic response surface method， radial basis functions was used to replace Hermite polynomials so as to solve complex implicit nonlinear function interpolation problem for its excellent performance on scattered data interpolation. A few nonlinear analytical functions and uncertainty problems of the load carrying capacity of single circular concrete filled steel tubule （CFST） arch were used as examples to test and verify the precision of proposed method in nonnormal distribution response interpolation and its engineering applicability. The results show that stochastic response surface method based on radial basis functions performs well in fitting highly nonlinear input implicit functions， and can achieve high precision on multiparameters CFST arch load carrying capacity uncertainty problems. Meanwhile， the method has less sample points compared to the Hermite polynomials method.

Key words：stochastic response surface method； radial basis functions； nonnormal distribution response； load carrying capacity； concrete filled steel tubule arch

極限承載力表征著結(jié)構(gòu)能承擔(dān)的最大荷載，是描述結(jié)構(gòu)抗力的重要指標(biāo)。結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和初始缺陷等是影響極限承載力的主要參數(shù)，當(dāng)這些參數(shù)具有不確定性時(shí)結(jié)構(gòu)的極限承載力也具有不確定性。在結(jié)構(gòu)極限承載力不確定性的分析方法中，蒙特卡洛有限元法MCFEM（Monte Carlo Finite Element Method）[1]將一定分布的隨機(jī)數(shù)作為確定性有限元模型的輸入，經(jīng)大量雙重非線性數(shù)值計(jì)算和對(duì)輸出結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，得到極限承載力不確定性的統(tǒng)計(jì)特征。該方法精度高，被廣泛認(rèn)可為精確解，用于校核其他不確定性分析方法；由于MCFEM方法需進(jìn)行大量非線性有限元運(yùn)算，因而計(jì)算成本高。隨機(jī)響應(yīng)面法SRSM（Stochastic Response Surface Method）[2]使用埃爾米特（Hermite）多項(xiàng)式擬合響應(yīng)與參數(shù)之間的復(fù)雜隱函數(shù)關(guān)系，因而能夠快速得到系統(tǒng)的響應(yīng)，解決了計(jì)算成本問題，并在可靠度領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[3]對(duì)響應(yīng)面法和隨機(jī)響應(yīng)面法在結(jié)構(gòu)可靠度分析中的應(yīng)用進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)后者具有較好的精度；文獻(xiàn)[4]使用隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)可靠度靈敏度進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[5]在對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞開裂分析預(yù)測中使用了隨機(jī)響應(yīng)面法。為進(jìn)一步拓展隨機(jī)響應(yīng)面法的應(yīng)用范圍，文獻(xiàn)[6]提出基于高階Hermite多項(xiàng)式的隨機(jī)響應(yīng)面法，用以解決非正態(tài)分布輸出擬合及輸入隨機(jī)變量相關(guān)性問題；文獻(xiàn)[7]基于Nataf變換解決了隨機(jī)響應(yīng)面法在相關(guān)的非正態(tài)分布隨機(jī)變量輸入情況下的應(yīng)用；文獻(xiàn)[8]提出最優(yōu)概率配點(diǎn)法則，用以降低高維參數(shù)下隨機(jī)響應(yīng)面的試驗(yàn)次數(shù)；這些工作均是隨機(jī)響應(yīng)面法的進(jìn)一步發(fā)展。

胡常福，等：徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法

學(xué)者們通過對(duì)Hermite多項(xiàng)式研究后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)輸出不是正態(tài)分布時(shí)Hermite多項(xiàng)式的收斂較慢[9]。這個(gè)缺陷使得對(duì)響應(yīng)與參數(shù)為高度的非線性函數(shù)關(guān)系時(shí)，基于低階Hermite多項(xiàng)式的隨機(jī)響應(yīng)面法擬合不夠理想，而高階Hermite多項(xiàng)式表達(dá)形式過于復(fù)雜不便于使用；基于Hermit多項(xiàng)式的隨機(jī)響應(yīng)面法使用p+1階Hermit多項(xiàng)式根的組合作為試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，相當(dāng)于p+1個(gè)因素p+1水平的全因子試驗(yàn)，在高維參數(shù)下試驗(yàn)次數(shù)急劇增多，計(jì)算效率大大降低，這一點(diǎn)在費(fèi)時(shí)的鋼管混凝土拱極限承載力不確定分析中尤為重要。本文基于徑向基函數(shù)RBF（Radial Basis Functions）在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，將其引入隨機(jī)響應(yīng)面法中替代Hermite多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，用以拓展隨機(jī)響應(yīng)面法在響應(yīng)輸入高度非線性隱函數(shù)關(guān)系中的應(yīng)用。以幾個(gè)非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性問題為例，驗(yàn)證本文方法對(duì)擬合非正態(tài)分布輸出的精確性和對(duì)工程多維參數(shù)問題的適用性。

1徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法

1.1隨機(jī)響應(yīng)面法

隨機(jī)響應(yīng)面法是經(jīng)典響應(yīng)面法RSM（Response Surface Method）的拓展，它將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量ξ作為系統(tǒng)的輸入，采用如式（1）所示的Hermite多項(xiàng)式擬合系統(tǒng)響應(yīng)與輸入之間的隱函數(shù)關(guān)系[2]。

由表4可以看出，在2參數(shù)至5參數(shù)的各隨機(jī)工況，使用Hermit多項(xiàng)式及RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法計(jì)算的鋼管混凝土拱極限承載力不確定性與Monte Carlo有限元法結(jié)果相比，Hermit多項(xiàng)式結(jié)果均值相對(duì)誤差的最大值為0.34%，標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差的最大值為1.60%，RBF函數(shù)結(jié)果均值相對(duì)誤差的最大值為0.47%標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差的最大值為1.61%，表明兩者均具有較高的精度；由圖2可以看出，在兩參數(shù)至五參數(shù)的各隨機(jī)工況，使用Hermit多項(xiàng)式及RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法計(jì)算的概率密度曲線與Monte Carlo有限元法結(jié)果均吻合較好；對(duì)4個(gè)工況計(jì)算結(jié)果的進(jìn)一步分析結(jié)果表明，鋼管混凝土拱極限承載力不確定性結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布不拒絕正態(tài)分布假設(shè)，所以RBF隨機(jī)響應(yīng)面結(jié)果不能比Hermit隨機(jī)響應(yīng)面結(jié)果精度更高，因大量研究實(shí)踐表明后者在正態(tài)分布結(jié)果擬合方面具有很高的精度。在樣本點(diǎn)數(shù)量方面，Hermit多項(xiàng)式隨機(jī)響應(yīng)面法在五個(gè)隨機(jī)工況下分別為32、33、34、35個(gè)，而RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法樣本點(diǎn)數(shù)量分別為22+5、23+7、24+9、25+11個(gè)，分別為前者的1.00、0.56、0.31、0.18倍，呈現(xiàn)出隨著參數(shù)維數(shù)的增加而樣本點(diǎn)數(shù)量大量減少的規(guī)律。綜合表4、圖2和樣本點(diǎn)分析可知，在輸出為正態(tài)分布的多維參數(shù)不確定性工程問題中，RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法與Hermit隨機(jī)響應(yīng)面法精度均較高，后者在具有較好精確性的同時(shí)，樣本點(diǎn)數(shù)量大大減少，且隨著參數(shù)維數(shù)的增加而減少越明顯。

4結(jié)論

基于徑向基函數(shù)在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，將其引入隨機(jī)響應(yīng)面法中替代Hermite多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，用以解決響應(yīng)與輸入高度非線性復(fù)雜隱函數(shù)的擬合問題；通過對(duì)幾個(gè)典型非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題的檢驗(yàn)，得到以下主要結(jié)論。

1）基于徑向基函數(shù)的隨機(jī)響應(yīng)面法，可用于非正態(tài)分布響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布輸入之間復(fù)雜非線性隱函數(shù)的擬合問題。

2）通過對(duì)幾個(gè)典型強(qiáng)非線性解析函數(shù)不確定性的驗(yàn)算結(jié)果表明，徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征值和概率密度曲線均與精確解吻合較好。

3）在鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題中，徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法結(jié)果與Monte Carlo有限元法結(jié)果在響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征值和概率密度曲線方面均吻合較好，計(jì)算成本較傳統(tǒng)Monte Carlo有限元法顯著減少。

4）對(duì)鋼管混凝土拱極限承載力5個(gè)隨機(jī)參數(shù)工況不確定性的分析結(jié)果表明，在輸出為正態(tài)分布的工程問題中，徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法樣本點(diǎn)數(shù)量比Hermit多項(xiàng)式隨機(jī)響應(yīng)面法大為減少，且隨參數(shù)維數(shù)的增加而減少越明顯。

5）數(shù)學(xué)算例與鋼管混凝土拱極限承載力不確定性算例表明，徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法在非正態(tài)分布與多參數(shù)正態(tài)分布響應(yīng)擬合方面具有較好的優(yōu)勢，傳統(tǒng)Hermit隨機(jī)響應(yīng)面在少參數(shù)的正態(tài)分布響應(yīng)中應(yīng)用結(jié)果較好。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳虬，劉先斌.隨機(jī)有限元法及其工程應(yīng)用[M].成都：西南交通大學(xué)出版社，1993.

[2]Isulapalli S S， Roy A， Georgopoulos P G. Stochastic response surface methods for uncertainty propagation： application to environmental and biological systems [J]. Risk Analysis， 1998， 18（3）：351363.

[3]蔣水華，李典慶，方國光.結(jié)構(gòu)可靠度分析的響應(yīng)面法和隨機(jī)響應(yīng)面法的比較[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2012，45（1）：4653.

[4]喬紅威，呂震宙，趙新攀.基于隨機(jī)響應(yīng)面法的可靠性靈敏度分析及可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（2）：207212.

[5]Riahi H， Bressolette P， Chateauneuf A， et al. Reliability analysis and inspection updating by stochastic response surface of fatigue cracks in mixed mode [J]. Engineering Structures， 2011， 33： 33923401.

[6]胡冉，李典慶，周創(chuàng)兵，等.基于隨機(jī)響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)可靠度分析[J].工程力學(xué)，2010，27（9）：192199.

[7]Li D Q， Chen Y F， Lu W B， et al. Stochastic response surface method for reliability analysis of rock slopes involving correlated nonnormal variables [J]. Computers and Geotechnics， 2011， 38：5868.

[8]蔣水華，李典慶，周創(chuàng)兵.隨機(jī)響應(yīng)面最優(yōu)概率配點(diǎn)數(shù)目分析[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2012，29（3）：345351.

[9]Xiu D B， Karniadakis G E. Modeling uncertainty in flow simulations via generalized polynomial chaos [J]. Journal of Computational Physics， 2003， 187（1）：137167.

[10]吳宗敏.徑向基函數(shù)、散亂數(shù)據(jù)擬合與無網(wǎng)格偏微分方程數(shù)值解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，19（2）：112.

[11]Stein E M，Weiss G. Introduction to fourier analysis on euclidean spaces [M]. New Jersey： Princeton University Press， 1971.

[12]Wu Z M. Compactly supported positive definite radial functions [J]. Advances in Computational Mathematics， 1995（4）：282293.

[13]Fang H B， Horstemeyer M F. Global response approximation with radial basis functions [J].Engineering Optimization， 2006， 38（4）：407424.

[14]Wei X， Wu Y Z， Chen L P. A new sequential optimal sampling method for radial basis functions [J]. Applied Mathematics and Computation， 2012，218：96359646.

[15]陳寶春，陳友杰.鋼管混凝土肋拱面內(nèi)受力全過程試驗(yàn)研究[J].工程力學(xué)，2000，17（2）：4450.

[16]謝肖禮，趙國藩，鄒存俊.鋼管混凝土拱橋肋拱面內(nèi)極限承載力全過程計(jì)算機(jī)模擬[J].土木工程學(xué)報(bào)，2004，37（5）：5458.

（編輯王秀玲）