走出對余弦定理認識的誤區

正余弦定理是高中階段數學比較重要的定理，這部分內容在人教版的教材中安排于必修5，即學生完整學習完必修4中的三角函數之后，應當說教材安排非常科學。這兩大經典定理是解三角形的主要依據，正是由于兩大定理本身巨大的功能，產生了非常重要的變式及相應的解題方法，同時也使學生的學習出現一定的困難，尤其是多解的情況更是讓很多人摸不著頭腦。于是很多教輔資料對這兩大定理的應用做了梳理，為學生較好地掌握這些定理起到了一定的幫助，但是有些結論存在瑕疵，誤導了學生和剛上講臺的青年教師。

大家來看下面的這段總結：

一般的，已知三角形的兩邊及一對角，求解三角形時可能出現零解、一解和兩解的情況，既可采用正弦定理也可采用余弦定理，建議應用余弦定理，當列一元二次方程時解出的邊長出現零個正數解、一個正數解、兩個正數解分別對應滿足條件的三角形個數。

我們舉個例子來驗證這段總結是否科學。

例：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=■，求AB的長。

解析一：

在△ABC中，S△ACD=■AC·ADsin∠1

∴sin∠1=■=■=■

sin∠2=■

在△ABC中，BC=■=5，cos∠2=■=■，

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠2

即25=AB2+49-11AB，

∴AB=8或AB=3

解析二：利用AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos60°

AB2-5AB-24=0

∴AB=8或AB=-3（舍）

綜上，AB=8。

上面兩種方法均采用余弦定理，而利用正弦定理同樣解出AB=8。為何解析一中的結果不同于其他的解法？對AB=3進行檢驗，可得cosB=-■，∠B=120°與已知矛盾，明顯是個增根。上述結論是有問題的，究其原因，解析一中利用余弦定理時并未利用∠B=60°，在兩邊及一對角的這一條件當中出現兩解可以構造∠B=120°的三角形，但是不符合題意，因此，余弦定理解題出現正數解也不能保證符合題意，務必對其進行檢驗。

例題利用余弦定理解題時出現正數解的增根，不易被發現，所以利用余弦定理解題時不能省掉檢驗這一環節。

參考文獻

[1]劉紹學.普通高中數學必修5[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]嚴士健，張奠宙，王尚志.普通高中數學課程標準解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

？誗編輯 魯翠紅