遞推關(guān)系的應(yīng)用舉例

在數(shù)列這一章的學(xué)習(xí)過程中，我們對遞推關(guān)系已有粗淺的認(rèn)識。在紛繁變幻的世界，某種現(xiàn)象的變化結(jié)果與緊靠它前面變化的一個(gè)或一些結(jié)果緊密關(guān)聯(lián)，而遞推關(guān)系的思想正體現(xiàn)了這一規(guī)律。遞推關(guān)系不僅在眾多數(shù)學(xué)分支，如：組合、概率、幾何、矩陣中起著重要作用，也在其他諸如信息學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域中顯示出獨(dú)特魅力。因此，學(xué)好遞推關(guān)系不僅可以提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更對今后進(jìn)行學(xué)術(shù)問題的推廣研究起著舉足輕重的作用。許多著名問題用遞推法來解顯得精巧簡捷，如：著名的楊輝三角（又稱Pascal三角）就是根據(jù)組合公式畫出來的，很顯然組合公式、楊輝三角都屬于遞推關(guān)系的范圍。

我們思考一個(gè)數(shù)學(xué)問題，有時(shí)可以跳出它的范圍去思考一個(gè)比它更為一般的問題，而一般的問題有時(shí)比特殊的問題更容易解決，或是解決了一般的問題就能夠得到一系列類似問題的結(jié)果，這就是“特殊問題一般化”的數(shù)學(xué)思想．遞推關(guān)系中存在著三大基本問題：如何建立遞推關(guān)系、已給的遞推關(guān)系有何性質(zhì)以及如何求解遞推關(guān)系。如果能弄清楚這三個(gè)方面的問題，相信我們對遞推關(guān)系的認(rèn)識又會推進(jìn)一步。建立遞推關(guān)系的關(guān)鍵在于尋找第n項(xiàng)與前面幾項(xiàng)的關(guān)系式以及初始項(xiàng)的值。它不是一種抽象的概念，是需要針對某一具體題目或一類題目而言的。事實(shí)上，遞推關(guān)系在求解數(shù)學(xué)的某些問題中，獨(dú)具魅力，趣味盎然，方法新穎快捷，使人深受啟發(fā)。下面略舉幾例以供廣大讀者參考。

一、遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1：如下圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。

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1.每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；

2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。

問：把n個(gè)金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動(dòng)多少次？

解：用ɑn表示把n個(gè)金屬片從一根針全部移到另一根針，最少需要移動(dòng)的次數(shù)。

顯然，把1個(gè)金屬片從1號針移動(dòng)3號針，最少需要移動(dòng)ɑ1=1次；下設(shè)n是不小于2的整數(shù)，當(dāng)把n個(gè)金屬片從1號針移到3號針時(shí)，可分為下列3個(gè)步驟：

（1）將上面（n-1）個(gè)金屬片從1號針移到2號針；

（2）將第n個(gè)金屬片從1號針移到3號針；

（3）將上面（n-1）個(gè)金屬片從2號針移到3號針。

按這個(gè)步驟可得遞推關(guān)系式ɑn=2ɑn-1+ɑ1且ɑ1=1，進(jìn)而可得，把n個(gè)金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動(dòng)的次數(shù)ɑn=2n-1（n∈N*）。

二、遞推關(guān)系求概率

例2：設(shè)正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)是A、B、C、D，各棱長度均為1米，有一個(gè)小蟲從點(diǎn)A開始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處用同樣的概率選擇通過這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并一直爬到這條棱的盡頭，求它爬了7米之后恰好回到頂點(diǎn)A的概率。

解：考慮一般情形，若小蟲走過n米后又回到點(diǎn)A，則它走過n-1米就在B、C、D三點(diǎn)中的一點(diǎn)，小蟲走過n-1米到達(dá)A點(diǎn)與不到達(dá)A點(diǎn)是對立事件，設(shè)Pi表示小蟲走過i米后又回到A點(diǎn)的概率，則Pi-1表示小蟲走過i-1米后回到A點(diǎn)的概率，1-Pi-1表示小蟲走過i-1米后不在點(diǎn)A的概率，因從B、C、D三點(diǎn)到A點(diǎn)是等可能的，于是有Pn=■（1-Pn-1），因起始時(shí)小蟲在點(diǎn)A，所以Po=1。故得遞推關(guān)系：Po=1Pn=■（1-Pn-1）（n≥1）即Pn-■=-■（Pn-1-■）進(jìn)而易得Pn=■+■×（-■）n，P7=■即為小蟲走過7米后回到A點(diǎn)的概率。

三、遞推關(guān)系證明不等式

例3：已知ɑ、b∈R+，對任意n∈N，

求證：■≥（■）n（1988年湖南省中學(xué)生夏令營競賽題）

證明：記Pn=ɑn+ɑn-1b+ɑn-2b2+...+bn，Qn=（■）n，則原不等式等價(jià)于Pn≥（n+1）Qn，

∵（ɑ+b）Pn-1+ɑn+bn=2Pn，即Pn=■Pn-1+■（ɑn+bn）

據(jù)冪平均不等式得Pn≥■Pn-1+■（ɑ+b）n，從而■≥■+1，于是■≥■+1≥■+2≥…≥■+（n-1）=2+（n-1）=n+1

即Pn≥（n+1）Qn

故原不等式成立。

參考文獻(xiàn)：

李長明.“數(shù)學(xué)解題的思路、方法和技巧”貴州科技出版社，1996.

（作者單位 貴州省黔西南州望謨縣民族中學(xué)）

編輯 楊兆東