“跳出”方程解方程

摘 要：高中數(shù)學(xué)的通性通法一直是數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，但是通法雖好，有時(shí)卻也會(huì)不失麻煩，尤其是在解決方程的問題時(shí)，由于只會(huì)求解最基本的一些方程，對(duì)于一些超出能力范圍的方程問題，必須跳出方程的束縛，利用轉(zhuǎn)化的思想方法來完成。就以高中數(shù)學(xué)中比較常見的方程問題為例，說明等價(jià)轉(zhuǎn)化在解決方程時(shí)的重要性及有效性。

關(guān)鍵詞：解方程；等價(jià)轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)問題

“就事論事”是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)一種很常見的方法，即出題者要求你解決什么問題，我們就從已知條件入手，看看能推出什么有用的結(jié)論，從而解決問題；或者是從需要解決的問題著手，逐步尋找解決此問題需要具備的條件，從而一步步尋找該條件成立的條件，直至找到顯然成立的條件，最終解決問題。可是很多的問題如果僅僅“就事論事”，雖然可以解決，但解決起來比較繁瑣，以至于花費(fèi)了很多的時(shí)間和精力，最終卻出錯(cuò)了。還有一些問題僅僅“就事論事”可能根本解決不了，這就需要我們換個(gè)角度看待問題，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而尋找到解決問題的捷徑。

下面就列舉方程的幾個(gè)問題加以說明：

例1.方程log2x-x2=0的解的個(gè)數(shù)是幾個(gè)？

按照我們一般的思路，要考慮方程的解的個(gè)數(shù)問題，如果是一元二次方程的實(shí)根問題，我們可以借助D的取值符號(hào)作出判斷，對(duì)于其他一些方程的根的問題，最便捷的似乎就是直接求出方程的根，從而就知道根的個(gè)數(shù)了。但像例1這樣的方程我們根本無從入手直接解。可是我們知道，方程的根的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也對(duì)應(yīng)著兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這就需要我們換個(gè)角度思考，利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，把求這個(gè)方程的根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)y=log2x和y=x2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。我們只要作出兩個(gè)函數(shù)的圖象很容易得出兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，從而例1的正確結(jié)果就是0個(gè)。這樣一個(gè)從方程角度無法完成的問題，跳出方程的束縛后，原來可以輕松解決。

再如，這樣一個(gè)方程問題：例2.若方程x2-ax+1=0在［■，3］上有解，求a的取值范圍。此題看上去就是一個(gè)考慮一元二次方程的根的問題，大家應(yīng)該都很熟悉。但你真正從一元二次方程的角度去分析時(shí)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它其實(shí)非常復(fù)雜。方程在［■，3］上有解，包含了以下可能的情形：（1）方程在此區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；（2）方程在此區(qū)間上有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；（3）方程一共有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)在給定區(qū)間上，另一個(gè)在給定區(qū)間外等等。說到底要求出a的范圍，必須先分別求出各種情形下a的取值集合，再求出各個(gè)集合的并集，想想就夠煩了。繁瑣的分類討論勢(shì)必會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間和精力，也更容易造成運(yùn)算上的失誤，真可謂是得不償失。可是只要我們換個(gè)角度去思考，就會(huì)發(fā)現(xiàn)原式子很容易變形為a=x+■，［■，3］，這也使我們很自然地想到把方程有解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=a和函數(shù)y=x+■，x∈［■，3］的圖象有交點(diǎn)的問題來求解。由于函數(shù)y=x+■，x∈［■，3］的值域是［2，■］，函數(shù)的圖象是與y軸垂直的一條直線，所以要使兩個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)，a的取值必須是［2，■］，從而也就輕松地解決了這個(gè)方程問題。

由此可見，在解決方程問題時(shí)，直接求解雖然是一種最常見的方法，也就是所謂的通法，但是當(dāng)直接求解比較復(fù)雜或者壓根沒法解決時(shí)，不妨跳出方程的束縛，靈活利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的問題來加以求解，從而做到事半功倍。

（作者單位 浙江省金華市賓虹高級(jí)中學(xué)）

編輯 李建軍