“函數的單調性”教學案例

一、教學目標

理解增函數、減函數、單調區間概念，讓學生體驗數學概念的形成過程，培養學生的數學思維能力。

二、教學重點

形成增減函數的形式化定義。

教學難點：增、減函數形式化定義的形成及利用函數單調性的定義證明簡單函數的單調性。

三、教學過程

師：日常生活中，我們有過這樣的體驗：從階梯教室前向后走，逐步上升，從階梯教室后向前走，逐步下降，上下樓梯也是一樣。

問題1：函數y=x的圖象是如何變化的？

生：交流并觀察y=x的圖象，發現從左到右呈上升趨勢。

師：觀察y=x2圖象，指出圖象的升降情況，并與y=x進行比較，指出它們的不同點。

生：觀察圖象發現在左側下降，右側上升。不同點是：不同函數其變化趨勢不同，同一函數在不同區間的變化趨勢也不同。

師：一般的，設函數f（x）的定義域為I，區間A?哿I：如果對于區間A內的任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時都有f（x1）＜f（x2）［f（x1）＞f（x2）］，那么就說f（x）在這個區間上是單調增（減）函數。

師：你認為增、減函數定義中的關鍵詞是什么？

生：定義域內某個區間。

師：很好！

師：講解例1（如圖）定義在區間［-5，5］上的函數y=f（x）的圖象，根據圖象說出y=f（x）的單調區間，以及在每一單調區間上，y=f（x）是單調增函數還是單調減函數。

生：得到答案［-5，-2］，［1，3］減；［-2，1］，［3，5］增

師：對函數的單調減區間學生易錯寫成［-5，-2］∪［1，3］的形式加以澄清，并舉反例加以說明。

■

師：講解例2，說出函數f（x）=■的單調區間，并證明在該區間上的單調性。

生：用定義嘗試證明，碰到困難。

師：區間分為（-∞，0），（0，+∞），證明略。

師：證明單調性的步驟：

（1）取值：設x1，x2是給定區間上的任意兩個值，且x1＜x2；

（2）作差與變形：作差f（x2）-f（x1），變形，一般化成幾個因子積的形式（或平方和形式）；

（3）判斷：確定f（x2）-f（x1）的符號；

（4）下結論。

生：嘗試練習畫出f（x）=3x+2的圖象，判斷它的單調性，并加以證明。

課堂小結：本堂課我們學習了：1.函數單調性的定義，對于區間A內的任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時都有f（x1）＜f（x2）［f（x1）＞f（x2）］，那么就說f（x）在這個區間上是單調增（減）函數。2.證明單調性的步驟、取值、作差與變形、判斷、下結論。

布置作業：書本39頁A組1，2

教后反思：本節課我從學生熟悉的一次函數、二次函數入手，增強學生的興趣，但是在給出單調性定義時給學生探究的時間有點短，導致學生在用單調性解題時，容易犯各種錯誤。

（作者單位 浙江省浦江縣第三中學）

編輯 孫玲娟