淺談?shì)S對(duì)稱在教學(xué)中的作用

摘 要：通過(guò)對(duì)軸對(duì)稱的認(rèn)識(shí)和性質(zhì)的理解，發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位和作用，利用對(duì)軸對(duì)稱的認(rèn)識(shí)可解決實(shí)際問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：軸對(duì)稱；能力；應(yīng)用

“軸對(duì)稱”是一種最基本的圖形變換，是探索圖形的性質(zhì)，認(rèn)識(shí)、描述圖形形狀和位置關(guān)系，對(duì)學(xué)生建立空間觀念，培養(yǎng)空間想象力有著不可忽視的作用。軸對(duì)稱的概念和性質(zhì)在解決某些計(jì)算、作圖、證明等問(wèn)題中起著重要作用。

一、軸對(duì)稱培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美、生活美的認(rèn)識(shí)

軸對(duì)稱廣泛地存在于我們的身邊，在數(shù)字、字母、漢字、建筑中，軸對(duì)稱都體現(xiàn)了它驚人的魅力。生活中的花邊、剪紙、裝飾物、照鏡子都用到了軸對(duì)稱。在數(shù)學(xué)中，很多幾何圖形都具有軸對(duì)稱之美，例如：角、線段、等腰三角形、等邊三角形、正方形、長(zhǎng)方形、圓等等。

二、軸對(duì)稱培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力

軸對(duì)稱的教學(xué)通過(guò)學(xué)生的觀察、折紙、扎眼、印墨跡、剪紙等操作活動(dòng)，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力，而且促進(jìn)了學(xué)生觀察、分析、歸納、概括等一般能力的發(fā)展。

三、軸對(duì)稱在解決問(wèn)題中的作用

新課程改革強(qiáng)調(diào)圖形與變換的內(nèi)容，突出了變換在圖形認(rèn)識(shí)過(guò)程中的作用。幾何變換思想促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展，有助于改進(jìn)幾何學(xué)，變換的思想利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成。軸對(duì)稱作為圖形變換的一個(gè)重要內(nèi)容，能較好地考查學(xué)生的思維靈活性及深刻性，具有很好的選拔與區(qū)分功能，成為近年來(lái)的熱點(diǎn)問(wèn)題，下面就此類問(wèn)題復(fù)習(xí)及解決方法加以討論。

1.基礎(chǔ)知識(shí)精要

（1）軸對(duì)稱、對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)

①軸對(duì)稱包含兩層意思：a.有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；b.對(duì)重合的方式有限制，也就是：把它們沿著某一條直線對(duì)折后能夠重合.

②對(duì)稱軸是一條直線，而非線段、射線等。

軸對(duì)稱圖形都有對(duì)稱軸，對(duì)稱軸有的有一條，有的兩條或多條，有的圖形則有無(wú)數(shù)條。

③對(duì)稱點(diǎn)是指折疊后重合的點(diǎn)。

（2）軸對(duì)稱圖形

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形.

提醒：軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形的本身。

（3）軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的關(guān)系

①二者區(qū)別：軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間的對(duì)稱關(guān)系，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形自身的對(duì)稱特性。

②二者聯(lián)系：

（i）沿對(duì)稱軸折疊后都能互相重合。

（ii）如果把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看做一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；若把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成的兩個(gè)部分看做兩個(gè)圖形，那么它們就關(guān)于對(duì)稱軸成軸對(duì)稱。

（4）軸對(duì)稱的性質(zhì)

①對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分。

②對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。

2.軸對(duì)稱應(yīng)用

（1）軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

一般根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義去識(shí)別一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形。

評(píng)注：這類考題比較典型，一般要求我們能利用軸對(duì)稱圖形的定義識(shí)別一些特殊的軸對(duì)稱標(biāo)志、數(shù)字、字母和漢字等。

（2）設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱圖形在生活中有著廣泛的應(yīng)用，利用它的性質(zhì)可以設(shè)計(jì)出美麗的圖案，在設(shè)計(jì)圖案時(shí)候要注意美觀和實(shí)用性。

3.利用軸對(duì)稱的特征探索研究圖形性質(zhì)

（1）利用軸對(duì)稱的特征解決問(wèn)題

①折疊后求角度

如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，則∠AED′等于多少度？

分析：∠DEF=∠EFB=65°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠FED′=∠DEF=65°（軸對(duì)稱性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等）

∠AED′=180°-∠FED′-∠DEF=180°-65°-65°=50°

②折疊后求長(zhǎng)度

如圖，已知邊長(zhǎng)為5的等邊三角形ABC紙片，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，沿著EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置，且ED⊥BC，則CE的長(zhǎng)是多少？

分析：對(duì)折后△FAE與△DFE全等。設(shè)EC=x，則ED=AE=5-x，因?yàn)椤螩ED=30°，ED⊥BC，所以DC=x/2，根據(jù)勾股定理x2=（5-x）2+ （■）2解得x=20-10■

（2）軸對(duì)稱可以解決鏡子成像問(wèn)題

鏡中的像和實(shí)際物體的圖形是鏡面對(duì)稱，我們可以用有關(guān)軸對(duì)稱的知識(shí)來(lái)解決一些與鏡面成像的一些問(wèn)題。

（3）軸對(duì)稱在做輔助線時(shí)的作用

若問(wèn)題的整個(gè)圖形或其一部分是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，可以嘗試找出對(duì)稱軸，從對(duì)稱軸上想辦法。

①涉及一點(diǎn)與一直線，嘗試過(guò)點(diǎn)作直線的垂線。

②涉及一點(diǎn)及一圓，嘗試將點(diǎn)與圓心用直線連接起來(lái)。

③涉及兩條相交直線，嘗試作它們交角的平分線。

④有兩條平行直線，嘗試作一條與它們垂直的直線或者作與它們等距的一條平行線。

⑤若涉及一圓及一直線，嘗試過(guò)圓心作直線的垂線。

⑥若涉及不同心的兩個(gè)圓，可嘗試作它們的連心線。

（作者單位 陜西省咸陽(yáng)市旬邑縣原底中學(xué)）

編輯 趙飛飛