有關(guān)抽象函數(shù)的題型及解決方法

【摘 要】在江西省近幾年的高考試卷中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)有關(guān)抽象函數(shù)的試題.由于這類問題本身的抽象性和隱蔽性，很多學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)感到束手無(wú)策.下面通過幾個(gè)例題來(lái)探討一下這類題目的求解策略

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù) 賦值法 單調(diào)性 奇偶性 比較法 解析式

【正文】已知條件中沒有給出的解析式或通過已知條件無(wú)法求出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。通過已知條件，給參變量取值又叫賦值的方法叫賦值法。例“”就是賦值法即等號(hào)為賦值號(hào)不是等號(hào)，用右邊的值賦左邊的量或說(shuō)取代左邊變量。其實(shí)賦值法又叫換元法?，F(xiàn)在我來(lái)通過例題介紹用賦值法研究抽象函數(shù)性質(zhì)問題。

類型一：用賦值法求抽象函數(shù)的某個(gè)函數(shù)值。

例1，

思路一：對(duì)已知f（x+y）=f（x）+f（y）中的參變量賦值先求抽象函數(shù)的奇偶性，再用賦值法求函數(shù)值。

解：∵ f（x+y）=f（x）+f（y）∴f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）又f（0+0）=f（0）+f（0）f（0）=0f（x）為奇函數(shù)f（-2）=f（-2）=-4，又∵f（-2）=f（-1）+f（-1）

思路二：對(duì)已知f（x+y）=f（x）+f（y）中的參變量x，y反復(fù)賦值求函數(shù)值f（-1）

解：

類型二.用賦值法先討論自變量互為相反數(shù)或互為倒數(shù)時(shí)函數(shù)值的關(guān)系再求抽象函數(shù)的單調(diào)性

例2.已知定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且，求證：1、；2、

3、

解：1、

2、

3、方法一：因?yàn)?，所?/p>

∵

∴又∵

∴

∴，

類型三：抽象函數(shù)的單調(diào)性采用比較法（作差法或作商法）

例3：已知對(duì)任意

（1）：

解：（1） ∵f（x）f（y）=f（x+y） ∴f（0+1）=f（0）f（1），又因當(dāng)x>0時(shí)f（x）>1成立即f（1）0

（2），現(xiàn)在討論當(dāng)?shù)姆?hào)。在討論的符號(hào)前先求的關(guān)系∵

∴∴∴當(dāng)x<0時(shí)-x>0，則f（-x）>1

∴，綜上可得：

（3）采用比較法即作商法討論函數(shù)的單調(diào)性。

∵ ∴。

方法一： ∴

方法二：

訓(xùn)練題一

。

（1）求的值。（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由。

（3）討論函數(shù)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由。

訓(xùn)練題二：定義域?yàn)镽且滿足以下條件：

（1）任意的都有恒成立。（2）.

試討論函數(shù)在R上的單調(diào)性。