淺談初中數(shù)學(xué)三個(gè)“非負(fù)數(shù)”模型及其應(yīng)用

【摘 要】在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，非負(fù)數(shù)是隨著初一代數(shù)中負(fù)數(shù)引入而相應(yīng)出現(xiàn)的一個(gè)概念性知識。所謂非負(fù)數(shù)，指零和一切正數(shù)（用字母a表示，即a≥0），它是建立在數(shù)軸、絕對值、二次根式和方程等數(shù)學(xué)范疇中的知識，在理論研究和實(shí)際運(yùn)用中不僅頗起作用而且具有十分重要的意義。常見的非負(fù)數(shù)著重包括實(shí)數(shù)的偶次冪、實(shí)數(shù)的絕對值和算術(shù)根等三種模型。理論和實(shí)踐同時(shí)表明，非負(fù)數(shù)知識的應(yīng)用范圍十分廣泛，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，凡是滲透到負(fù)數(shù)的地盤，就會(huì)觸摸到非負(fù)數(shù)的神經(jīng)。數(shù)學(xué)老師應(yīng)當(dāng)高度重視，而且必須要求學(xué)生們認(rèn)真應(yīng)對之，否則對未來的教與學(xué)必將帶來很大障礙。本文試對此作出簡要性闡述。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 知識教學(xué)應(yīng)用 非負(fù)數(shù)模型 探討與思考

長期以來，非負(fù)數(shù)和方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要組成部分，而且在歷屆中考命題中既屬重點(diǎn)方向又是難點(diǎn)內(nèi)容。從個(gè)體思維發(fā)展規(guī)律來分析，初中生尤其是初一學(xué)生，正處于形象性思維向抽象性思維逐步過渡的階段，而諸如非負(fù)數(shù)之類的抽象性數(shù)學(xué)知識之于他們，可謂難以繞道的“攔路虎”和“火焰山”。筆者從教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，無論對于日常生活的教與學(xué)來說，還是針對以后的中考而言，非負(fù)數(shù)知識都應(yīng)當(dāng)且必須引起師生雙方的高度重視與認(rèn)真應(yīng)對。那么，如何才能積極有效地開展非負(fù)數(shù)知識的教學(xué)活動(dòng)呢？本文試從以下幾個(gè)方面，對此作出一些拋磚引玉之論。

一、初中數(shù)學(xué)非負(fù)數(shù)知識的形式及其性質(zhì)

我們該怎樣下這個(gè)數(shù)學(xué)定義呢？顧名思義，“非負(fù)數(shù)”即為不是負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)，就是包括零和正實(shí)數(shù)（如3.4、9/10、π……）兩大類別。在初中數(shù)學(xué)中，常見的“非負(fù)數(shù)”形式主要有以下三種類型：（1）實(shí)數(shù)的偶次冪一定為“非負(fù)數(shù)”：如a2≥0，一般的a^2n≥0（n為整數(shù)）。（2）實(shí)數(shù)的絕對值一定為“非負(fù)數(shù)”：如|a|≥0（當(dāng)a>0時(shí)，絕對值即為a；當(dāng)a=0時(shí)，絕對值即為0；而當(dāng)a<0時(shí)，絕對值則為-a）。（3）算術(shù)根一定為“非負(fù)數(shù)”：如√a≥0，一般的x√a≥0。

非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中既非常重要也頗為實(shí)用，它不僅有類型性質(zhì)——實(shí)數(shù)的偶次冪是非負(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，一個(gè)正實(shí)數(shù)的算式根是非負(fù)數(shù)，還包含：（1）任何一個(gè)非負(fù)數(shù)乘以-1，都會(huì)得到一個(gè)非正數(shù)；（2）非負(fù)數(shù)大于或等于0；（3）非負(fù)數(shù)中含有理數(shù)和無理數(shù)；（4）非負(fù)數(shù)的和或積仍是非負(fù)數(shù)；（5）非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)一定等于零；（6）非負(fù)數(shù)的積為零，則至少有一個(gè)非負(fù)數(shù)為零；（7）非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身；（8）最小的非負(fù)數(shù)是0，沒有最大的非負(fù)數(shù)；（9）非負(fù)數(shù)的商（除數(shù)不能為0）仍然是一個(gè)非負(fù)數(shù)。

此外，非負(fù)數(shù)還有其幾何意義——在數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)以及數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都是“非負(fù)數(shù)”。

二、關(guān)于對“非負(fù)數(shù)”知識的見解與應(yīng)用

如前文所述，三個(gè)非負(fù)數(shù)知識的性質(zhì)比較豐富，應(yīng)用范圍也很廣，我們只有理解透徹才能輕松靈活地應(yīng)用。有鑒于此，本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐與點(diǎn)滴思考，試對其進(jìn)行粗略式解析，以供同行商榷與參考。

1、在一元二次方程中的實(shí)際應(yīng)用。眾所周知，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，關(guān)于對“一元二次方程”的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，既是初中數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)和必要前提，又是學(xué)習(xí)其他更多數(shù)學(xué)知識的良好支撐。而我們把它一般地表現(xiàn)為ax2+bx+c=0（其中a≠0）形式，那么對于它的有實(shí)數(shù)根的重要條件和必要條件就是（△b2-4ac≥0為非負(fù)數(shù)）。

2、關(guān)于對非負(fù)數(shù)概念的實(shí)際應(yīng)用。以零和正數(shù)為表現(xiàn)類別的“非負(fù)數(shù)”知識，它是在初中教材的數(shù)軸、絕對值、二次根式和方程等概念的數(shù)學(xué)中建立起來的。對此，我們完全可以通過如下三種途徑來加以應(yīng)用與理解：一是通過對“實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)”概念性知識的理解。比如，“在一根標(biāo)有a、b、c字樣的數(shù)軸上，其中a定點(diǎn)在0左側(cè)的3厘米位置上，而b和c分別定點(diǎn)在0右側(cè)的3厘米與1厘米位置上（可畫圖表示），且，那么。”借助于對這類題目的實(shí)踐教學(xué)，能夠幫助學(xué)生增強(qiáng)對它的理解、把握和記憶。二是通過對“非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍是非負(fù)數(shù)”概念性知識的理解。我們可以借助于對“化簡”來予以滲透消化和列舉說明。三是通過對“被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)”概念性知識的理解。對此，我們可以借助于對“函數(shù)中自變量x的取值范圍是多少？”的數(shù)學(xué)題目，來解決非負(fù)數(shù)中的此類概念性知識。值得一提的是，數(shù)學(xué)概念知識比較精煉和縝密，在實(shí)際教學(xué)中，我們要首先通過引導(dǎo)學(xué)生來認(rèn)真閱讀解析，然后再通過對具有典型性的實(shí)例題目進(jìn)行消化和反芻，只有如此相得益彰地滲透與通融，才能贏得事半功倍的效果。

3、關(guān)于對非負(fù)數(shù)性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用。從上文所闡述的眾多非負(fù)數(shù)性質(zhì)中，可以衍生出如下一條重要性質(zhì)，具體可表述為——“如果有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么其中的每個(gè)加數(shù)都必須為零，就是說：x1≥0、x2≥0……xn≥0，且x1 +x2……xn=0，那么x1=x2=……xn=0。”實(shí)踐證明，這一條非負(fù)數(shù)性質(zhì)具有非常廣泛的應(yīng)用范圍，是我們在教與學(xué)實(shí)踐中必須予以特別關(guān)注的內(nèi)容。本文就以如何對它進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用來說明問題。首先，我們可以對它進(jìn)行直接地加以應(yīng)用。比如“已知方程，求x和y的值”，或者在“已知方程”中就是如此。其次，可以先把問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)或者有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和，然后再來應(yīng)用這一條性質(zhì)。如對于“已知方程，求x、y、z的值”，我們常是如此。

綜上所述，以上是筆者在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的簡要實(shí)踐與應(yīng)用體會(huì)。“運(yùn)用之妙，存乎一心。”本文拋出關(guān)于初中數(shù)學(xué)中三個(gè)“非負(fù)數(shù)”模型的教學(xué)應(yīng)用，期望以此能夠獲得更多同行的商榷和探討之言。