淺析從一題多解談高中數學的發散思維

摘 要：數學不單單是一種技巧的學科，也是學習者的一種思維能力的綜合體現形式，針對數學題來講，往往有很多種解法。對于學生解題來說，一題多解的方式還沒有深入其思想中，怎樣能盡快找到解決問題的方法是關鍵，準確快速的解題能力具有著極大的重要性。因此本文將針對例題的多種解法講解，從而培養學生的發散思維，提高學生的學習能力與思維品質。

關鍵詞：高中數學 一題多解 發散思維

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）03（c）-0161-02

學生在小學初中都接觸過數學，高中數學是學生在數學方面的繼續，也就是說，高中數學是學生在以往學過的數學學科的延伸與升華。在解題時，要根據題目的多種角度進行觀察并且分析題目，綜合使用各種方法，找到解題思路，加強學生的解題能力，提高學習的思維質量，才能更好的提高學生的學習質量。因此本文將針對具體例題具體分析，根據例題的多種解題方法和思路進行分析，進一步探討學生的創新思維的表現，從而加強學生的多種解題的發散思維。

1 一題多解

例1：已知函數f（x）=ax2+bx+c的圖像過點（-1，0），是否存在常數a、b、c，可以使不等式x≤f（x）≤（1+x2）對一切實數x都成立？

分析：此題為探索性的題目，因此要根據題目條件分析出a、b、c之間的關系，再根據不等式的恒成立條件從而得出解題方法。根據不同的各種觀察角度與分析以及題設的條件進行解題，提供了兩種解題方法。

解法一：因為，函數f（x）=ax2+bx+c的圖像為拋物線圖像且過點（-1，0），

所以，a-b+c=0.此為方程式（1）。

又因為，x≤f（x）≤（1+x2）對一切實數x都成立，令x=0，則有0≤c≤；令x=1，則有1≤a+b+c≤1，

所以a+b+c=1，此為方程式（2）

因此，由（1）（2）得出b=，c=-a

所以，0≤-a≤，所以，0≤a≤

將b=，c=-a.代入公式x≤f（x）≤（1+x2）中，可以得出以下不等式組：

的解集為R

當a=0或時，上述不等式組不能對一切實數x都成立，所以，0

再由△1=1-8a（1-2a）≤0，△2=1-8a（1-2a）≤0得出（4a-1）2≤0

所以a=c=

綜上所述，存在a=c=，b=，使不等式x≤f（x）≤（1+x2）對一切實數x都成立。

解法二：因為，x≤f（x）≤（1+x2）對一切實數x都成立，

所以f（x）的圖像一定在g（x）=x和h（x）=（1+x2）的圖像之間。

已知g（x）和h（x）的圖像相切于點p（1，1），因此f（x）與h（x）的圖像也必定切于p（1，1），從而得到以下方程組。

僅有一組解為

也就是一元二次方程f（x）-x=0有兩個根x1=x2=1，

所以，f（x）-x=a（x-1）2即f（x）=a（x-1）2+x

又因為f（-1）=0所以a=，從而有f（x）=x2+x+，

綜上所述可知，存在a=c=，b=，使不等式x≤f（x）≤（1+x2）對一切實數x都成立。

例2：斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長。

分析一：可根據不同方法進行不同分析，本文此題的解決方法將列舉4種，針對第一種方法進行分析，因為求直線與拋物線的相交問題，因此可通過聯立方程組求解的方式解交點坐標，然后根據兩點間的距離公式求解。

解法一：如圖1，由拋物線的標準方程可知，拋物線焦點的坐標為F（1，0），所以直線AB的方程為y=x-1為①方程式。

將方程①代入拋物線方程y2=4x，得

（x-1）2=4x化簡得出x2-6x+1=0

解得：

將x1，x2的值分別代入方程①中，得

即A、B坐標分別為、。

所以，

分析二（弦長公式法）：先將方程組聯立，然后通過利用直線與圓錐曲線相交的弦長公式

解法二：如圖1，由拋物線的標準方程可知，拋物線焦點的坐標為F（1，0），所以直線AB的方程為y=x-1為①式，

將方程①代入拋物線方程y2=4x中，

得（x-1）2=4x化簡得x2-6x+1=0

分析三（數形結合法）：考慮到直線恰好過焦點，所以可與拋物線定義發生聯系，通過利用拋物線定義，將AB分段轉化成點A、B到準線距離，可以達到解題的目的。

解法三：在圖1中，由拋物線的定義可知，丨AF丨等于點A到準線x=-1的距離

同理，于是得丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=x1+x2+2

由此可以看到，本題在得到方程x2-6x+1=0后，根據根與系數關系可以直接得到x1+x2=6。

于是可以求出丨AB丨=6+2=8

分析四（參數方程法）：通過利用所學的參數方程知識，用直線的參數方程與拋物線方程進行聯立，利用丨AB丨=丨t1-t2丨進行計算。

解法四：如圖1，由拋物線的標準方程可知，拋物線焦點的坐標為（1，0），直線的傾斜角為，所以直線AB的方程的參數方程為

聯立參數方程與拋物線方程y2=4x得整理：

所以

因此可見，一道數學題的解題并不是只有一種方法，大多的數學題目都是有多種解法存在的。因此，培養學生的一題多解能力很重要，在高中數學的教學過程中，訓練學生的發散思維成了教師和學校思考的問題，培養學生的發散思維對學生以后的人生有著重大影響意義。

2 訓練發散思維的方法

經過多年的教學實踐證明，數學教學的質量與學生的發散思維相關，這就為培養學生發散思維創造了良好的條件，因此可通過以下方法來培養學生的發散思維。

2.1 運用公式定理活躍思路

高中數學的教學過程中學生們會接觸很多的數學公式以及數學定理，雖然都是“死”公式，但是學生在運用公式的時候可以做到“活”用，打開自己的思路來面對千變萬化的數學題，只有靈活運用公式才能更好的解決學生在學習過程中遇到的數學難題。教師從公式的多種變化運用來引導學生使用發散思維進行解題，要求學生必須抓住解題思路，不應該盲目的胡思亂想，要將公式作為核心和依據。因此，教師在培養學生的發散思維之前，首先要對基礎的教學知識進行鞏固，更好的為學生提升自己的學習能力打下良好的基礎。

2.2 經典例題的深度反思

教師在使用經典案例對學生進行引導的過程中，要深度反思此題目對學生的思維影響，讓學生在多種提前條件下運用公式、定理。在例題的反思過程中，首先要先讓學生了解題目設置的變量與常量，理解例題的適用條件和范圍之后進行解題，還要讓學生對多種例題進行對比從而來培養學生的多種思考角度，深入了解題目內容，抓住解題思路，有助于學生更好的培養發散思維。

3 鼓勵一題多解思考方式

對于相同答案的題目，通過不同的解法進而培養學生學習數學的興趣，激發課堂的活躍性。對于學生來講，通過多種方法來解同一道題目會比單一的方法解多種題目的效果還好，因此，鼓勵學生一題多解可以幫助學生更好的去理解數學公式以及能靈活運用公式進行解題，還可以幫助學生養成一種善于思考善于探索的良好習慣，同時可以提高學生對學習的興趣并培養學生的發散思維，提高學習能力。

4 尋求最便捷的解題方法

運用發散性思維的第一步就是找到一題多解的方法，教師在引導學生發散思維時應該讓學生精益求精，找到最便捷的解題方案做到一題巧解。對數學的基本知識掌握與全面理解是學生善于發散思維的基礎，通過多種思路進行快速的篩選與鑒別從而選擇更便捷的方案進行解題。

5 善解題意并嘗試一題多變

由于數學題的題目相對較于抽象，學生們很難理解出題者的題意，給學生解題帶來了很大的困難。因此，教師培養學生們的領會題意的能力非常重要，為了更好的訓練學生的發散思維，通過一題巧解的方法進行解題也很重要。但是，這樣做將往往會把學生放在了一個回答者的位置上，訓練學生更好的領會題意的方法是培養學生的一題多變思維即讓學生在放松狀態下進行解題，這種思維主要是學生通過熟悉的數學題題目改變題目條件和前提條件，為基礎來創造新的數學題目。

6 通過運用教育素質提高思維能力

教師可以通過引入素質教育來提高課堂的活躍氣氛引起學生們對數學學習的興趣，讓學生們感覺數學與生活息息相關。教師也可以根據有趣的教學課堂來側面了解學生的學習狀況以及根據學生在課堂中的表現，做下一步的教學計劃，從而增強學生的自身能力與自身素質的提高。

7 結語

高中數學教學中應用一題多解的方法，不僅可以培養學生的發散思維對學生以后的成長有著至關重要的作用，還可以培養學生良好的思考習慣與學習興趣，對學生的學習有著重要的影響并通過一題多解來尋找高中數學的解題興趣，提高自身的解題能力。同時，發散思維是創新思維的一種重要表現形式，了解、掌握創新思維，可以更好的靈活運用發散思維，從而提高學生的自身學習能力。

參考文獻

[1]沈人干.展拓學生的思維空間和層次[J].湖州師范學院學報，2009（6）.

[2]王淑英.淺談一題多解對培養思維能力的作用[J].東疆學刊，2010（7）.

[3]俞恃洋.淺議“一題多解與能力培養”的教學[J].曲靖師范學院學報，2009（4）.