淺析數學期望在實際生活中的應用

摘 要 數學期望是概率論中的一個重要概念，是隨機變量的數字特征之一，體現了隨機變量總體取值的平均水平，本文主要闡述了數學期望的定義和性質，討論了實際生活中的某些應用問題，從而使我們能夠使用科學的方法對其進行量化的評價，平衡了極大化期望和極小化風險的矛盾，達到我們期望的最佳效果。

關鍵詞 概率統計 數學期望 實際問題 應用

早在17世紀，有一個賭徒向當時的法國數學家提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，比賽規則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎勵。他們兩人獲勝的機率相等.但是當其中一個人贏了2局，另一個人贏了1局的時候，由于某種原因終止了賭博。問：賭資應該怎樣分才合理？”那么如何分配這100法郎才比較公平？用概率統計的知識，不難得知，甲獲勝的概率為1/2+（1/2）*（1/2）=3/4，或者分析乙獲勝的概率為（1/2）*（1/2）=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為100*3/4=75法郎，乙的期望所得值為25法郎。這個故事里出現了“期望”這個詞，數學期望由此而來。在經濟生活中，有許多問題都可以直接或間接的利用數學期望來解決，風險決策中的期望值法便是處理風險決策問題常用的方法。數學期望是隨機變量的數字特征之一，它代表了隨機變量總體取值的平均水平。

一、期望的概念及性質

1、離散型隨機變量的數學期望

設X是離散型隨機變量，其分布律為P（X=xi）= pi（i=1，2……），若級數xi pi絕對收斂，則稱該級數的和為X的數學期望，記作E（X），即：

E（X）=xi pi

2、連續型隨機變量的數學期望

設f（x）為連續型隨機變量X的概率密度，若積分xf（x）dx絕對收斂，則稱它為X的數學期望，記作E（X），即：

E（X）=xf（x）dx

3、期望的性質

（1）E（c）=c，c為任意常數；

（2）E（cX）=cE（X），c為常數，X為變量；

（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y），X，Y為變量；

（4）若X，Y獨立，則E（XY）=E（X）E（Y）。

二、數學期望在實際問題中的應用

1、決策投資方案

決策方案即將數學期望最大的方案作為最佳方案加以決策。它幫助人們在復雜的情況下從可能采取的方案中做出選擇和決定。具體做法為：如果知道任一方案Ai（i=1，2，…m）在每個影響因素Sj（j=1，2，…，n）發生的情況下，實施某種方案所產生的盈利值及各影響因素發生的概率，則可以比較各個方案的期望盈利，從而選擇其中期望盈利最高的為最佳方案。

假設某人用10萬元進行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票；二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經濟形勢，若經濟形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設利率為8%，可得利息8000元，又設經濟形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問應選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

比較兩種投資方案獲利的期望大小：購買股票的獲利期望是E（A1）=4€？.3+1€？.5+（-2）€？.2=1.3（萬元），存入銀行的獲利期望是E（A2）=0.8（萬元），由于E（A1）>E（A2），所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應采用購買股票的方案。在這里，投資方案有兩種，但經濟形勢是一個不確定因素，做出選擇的根據必須是數學期望高的方案。

2、進貨問題

設某種商品每周的需求是從區間[10，30]上均勻分布的隨機變量，經銷商進貨量為區間[10，30]中的某一整數，商店銷售一單位商品可獲利5000元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧價100元，若供不應求，則可以外部調劑供應，此時一單位商品獲利300元，為使商品所獲利潤期望不少于9280，試確定進貨量。

故利潤期望不少于9280元的最少進貨量為21單位。

3、面試方案

設想某人在求職過程中得到了兩個公司的面試通知，假定每個公司有三種不同的職位：極好的，工資4萬；好的，工資3萬；一般的，工資2.5萬。估計能得到這些職位的概率為0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何職位。由于每家公司都要求在面試時表態接受或拒絕所提供職位，那么，應遵循什么策略應答呢？

極端的情況是很好處理的，如提供極好的職位或沒工作，當然不用做決定了。對于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。 先考慮現在進行的是最后一次面試，工資的數學期望值為：E（A1）=4€？.2+3€？.3+2.5€？.4+0€？.1=2.7萬。

那么在進行第一次面試時，我們可以認為，如果接受一般的值位，期望工資為2.5萬，但若放棄（可到下一家公司碰運氣），期望工資為2.7萬，因此可選擇只接受極好的和好的職位。這一策略下工資總的期望 如果此人接到了三份這樣的面試通知，又應如何決策呢？

最后一次面試，工資的期望值仍為2.7萬。第二次面試的期望值可由下列數據求知：極好的職位，工資4萬；好的，工資3萬；一般的，工資2.5萬；沒工作（接受第三次面試），2.7萬。期望值為：E（A2）=4€？.2+3€？.3+2.5€？.4+2.7€？.1=3.05萬。

這樣，對于三次面試應采取的行動是：第一次只接受極好的職位，否則進行第二次面試；第二次面試可接受極好的和好的職位，否則進行第三次面試；第三次面試則接受任何可能提供的職位。這一策略下工資總的期望值為4€？.2+3.05€？.8=3.24萬。故此在求職時收到多份面試通知時，應用期望受益最大的原則不僅提高就業機會，同時可提高工資的期望值。

4、保險公司獲利問題：一年中一個家庭晚萬元被盜的概率是0.01，保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產保險，參加者需交納保險費100元，若一年內萬元以上財產被盜，保險公司賠償a元（a>100），試問a如何確定才能使保險公司獲利？

解：只需考慮保險公司對任一參保家庭的獲利情況，設表示保險公司對任一參保家庭的收益，則的取值為100或100-a，其分布為：

根據題意：E（X）=100€？.99+（100-a）€？.01=100-0.01a>0

解得a<10000

又a>100，所以a∈（100，10000）時保險公司才能期望獲利。

三、結束語

數學期望具有廣泛的應用價值。實踐證明當風險決策問題較為復雜時，決策者在保持自身判斷的條件下處理大量信息的能力將減弱，在這種情況下，風險決策的分析方法可為決策者提供強有力的科學工具，以幫助決策者作出決策，但不能代替決策者進行決策。因為在現實生活中的風險決策還會受到諸多因素的影響，決策者的心理因素，社會上的諸多因素等，人們還需綜合各方面的因素作出更加合理的決斷。

（作者單位：襄陽職業技術學院）