淺談極限思想

摘 要 極限思想談的是數學中的思維問題，它的廣泛使用是由數學本身的發展所決定的。本文以數學發展史為基礎，從一些典型例子中尋找極限思想的產生與發展，主要是以歷史辯證唯物主義觀來重新分析、概述有關極限思想的問題和函數極限概念小結極限思想應用的舉例。

關鍵詞 極限 函數 導數

所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是借助于極限來定義的。

一、極限思想的產生與發展

1、極限思想的由來

與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。

到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向”。

2、極限思想的發展

極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯系的。16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產和技術中大量的問題，只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破只研究常量的傳統范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、建立微積分的社會背景。

起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量與時間的改變量之比表示運動物體的平均速度，讓無限趨近于零，得到物體的瞬時速度，并由此引出導數概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當n無限增大時，n無限地接近于常數A，那么就說n以A為極限”。

這種描述性語言，人們容易接受，現代一些初等的微積分讀物中還經常采用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個“無限過程”之間的聯系，不能作為科學論證的邏輯基礎。

3、極限思想的完善

極限思想的完善與微積分的嚴格化密切聯系。在很長一段時間里，微積分理論基礎的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以償。這是因為數學的研究對象已從常量擴展到變量，而人們對變量數學特有的規律還不十分清楚；對變量數學和常量數學的區別和聯系還缺乏了解；對有限和無限的對立統一關系還不明確。這樣，人們使用習慣了的處理常量數學的傳統思想方法，就不能適應變量數學的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”相互轉化的辯證關系。

首先用極限概念給出導數正確定義的是捷克數學家波爾查諾，他把函數f的導數定義為差商€%=y/€%=x的極限f′（x），他強調指出f′（x）不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關于極限的本質他仍未說清楚。

到了19世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”。

為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂 n=A，就是指：“如果對任何€%^>0，總存在自然數N，使得當n>N時，不等式|n-A|<€%^恒成立”。

這個定義，借助不等式，通過€%^和N之間的關系，定量地、具體地刻劃了兩個“無限過程”之間的聯系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數及其大小關系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運動的直觀。

二、建立概念的極限思想

極限的思想方法貫穿于數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數學分析著作中，都是先介紹函數理論和極限的思想方法，然后利用極限的思想方法給出連續函數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：

（1）函數在點連續的定義，是當自變量的增量時，函數值的增量趨于零的極限。

（2）函數在點導數的定義，是函數值的增量與自變量的增量之比，當時的極限。

（3）函數在上的定積分的定義，是當分割的細度趨于零時，積分和式的極限。

（4）數項級數的斂散性是用部分和數列的極限來定義的。

三、解決問題的極限思想

極限思想方法是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是數學分析與初等數學的本質區別之處。數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。

有時我們要確定某一個量，首先確定的不是這個量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個而是一連串越來越準確的近似值；然后通過考察這一連串近似值的趨向，把那個量的準確值確定下來。這就是運用了極限的思想方法。

（作者單位：襄陽職業技術學院）