導數在經濟學科中的應用

導數是數學分析的重要組成部分，它在經濟、物理、幾何、微積分等學科中起著極其重要的作用。本文主要論述了導數在經濟學科中的廣泛應用。

一、導數的定義

設函數y=（）在點的某領域內有定義，若極限（1）存在，則稱函數f在點x0可導，并稱該極限為函數f在點x0處的導數，記作f'（x0）。令x=x0 +€L唜，€L唝=f（x0+€L唜）-f（x0），則（1）式可改寫為： （2）。所以，導數是函數增量€L唝與自變量€L唜之比的極限。這個增量比稱為函數關于自變量的平均變化率（又稱差商），而導數f'（x0）則為f在x0處關于x的變化率。

若（1）或（2）式極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

以下介紹導數的有關應用：經濟方面，物理方面，極限方面，函數方面，最優化問題方面以及其它生活中的應用實例方面來闡述導數的廣泛應用：

二、導數概念在經濟學中的應用

將導數概念應用于經濟學中，主要是指利用導數研究經濟變量，如成本、收入、利潤、需求等函數的變化率，其一為瞬時變化率，在經濟學中稱為“邊際”；其二為相對變化率，在經濟學中稱為“彈性”。

（一）總成本函數與邊際成本

總成本是指生產一定數量的某種產品所需投入的總費用，它是產量的函數，一般用C表示，設某產品產量為時所需的總成本為C=C（x），稱為總成本函數，簡稱為成本函數，它是由固定成本c0（與產量無關的資源投入，如廠房、設備、企業管理費、廣告費等）及可變成本c1（x）（與產量相關的資源投入，如原料、電力、人力等）兩部分組成，一般函數關系為C（x）=c0+c1（x），這是一個單調遞增函數。

若產量是連續變化的，且函數C（x）在點x處可導，則有。C'（x）為成本函數的瞬時變化率，稱為產量為x時的邊際成本，又記作MC。按導數定義，C'（x）近似表示在產量為x，產量的改變量€L唜的絕對值|€L唜|很小時，總成本變化的速度，即平均增加或減少一個單位產量時總成本改變量，而經濟學家對邊際成本C'（x）的解釋是C'（x）表示當產量為x時，再生產一個單位產品所需增加的成本的近似值。

（二）總成本函數與邊際收入

總成本函數是指生產者出售一定數量的產品后所得的全部收入，一般用R表示，它與銷售量及價格有關，其關系式為總收入=價格銷售量。

在一元函數中，可根據所討論的問題將總收入表示為銷售量的函數或表示為價格的函數。

現在設某種產品的銷售量為x時的總收入為R=R（x），稱R（x）為總收入函數，簡稱收入函數。類似與邊際成本的討論，若在R（x）點x處可導，就稱為銷售量為x時的邊際收入，又記作MR，其經濟意義為：假設已經銷售了x個單位產品，再多銷售一個單位產品時收入增加的近似值。

[例1]：設某種產品的需求量x是價格p（元/單位產品）的函數：x=20000-100p，求邊際收入函數MR（x）及需求量分別是9000，10000，11000個單位時間的邊際收入，并說明其經濟意義。

解：總收入函數為R（x）=銷售量價格=需求量價格x=p

由已知20000-100p，將p=200-0.01x代入R（x）得

R（x）=200x-0.01x2，于是MR（x）=R'（x）=200-0.2x

（9000）=20（元） （10000）= 0（元） （11000）=-20（元）

其經濟意義為：當需求量為9000個單位時，如果需求量再增加1個單位，總收入大約增加20元；當需求量為10000個單位時，如果需求量再增加1個單位，總收入大約不變；當需求量為11000個單位時，如果需求量再增加1個單位，總收入大約減少20元，這說明總收入并不總是隨需求量（即銷售量）的增加而增加的。

（三）總利潤函數與邊際利潤

總利潤是指生產者將生產的產品售出后，扣除投入部分的費用后所得的收入，一般用L表示，即L=總收入-總成本。如果我們假設銷售量=產量（即產銷平衡），設某種產品的產量為x時，總成本函數為C（x），總收入函數為R（x），則有L（x）= R（x）- C（x），稱L （x）為總利潤函數，簡稱為利潤函數。若L（x）在點x處可導，就稱為產量為x時的邊際利潤，又記作ML。其經濟意義為：當產量為時再多生產1個單位產品所增加的利潤的近似值。

[例2]：設生產某種產品x個單位的成本函數為C（x）=1000+10x+0.01x2（單位：元）。如果每單位產品售價為30元，求邊際成本與在產銷平衡情況下的邊際利潤函數，并求產量為800個單位時的邊際利潤，并說明其經濟意義。

解：當產量為個單位時的總收入為R（x）=30x，邊際收入。由已知成本函數可得邊際成本為，從而產量為個單位時的邊際利潤為

當x=800時，

結果表明，當產量為800個單位時，再多生產1個單位產品，利潤大約可增加4元。

（四）彈性分析

導數討論的是函數在某點的變化率，關心的是自變量的微小改變所引起的函數改變量，但是在日常經濟活動中，例如，在研究需求量與價格之間的關系時，關心較多的不是因價格p的改變所引起的需求量Q的改變量，而是價格的相對改變量所帶來的需求量的相對改變量，這樣便得到一種被稱為彈性的度量。下面先給出一般函數的彈性定義。

定義2.4：設函數y=f（x）在點x0的某領域內有定義，若對于x的改變量Dx，函數取得改變量€L唝=f（x0+€L唜）-f（x0），稱值為y=f（x）在點x0與點x0+€L唜之間的弧彈性。

弧彈性表示當自變量由€L唜變到x0+€L唜時，自變量變化€L唜的1%所引起的函數值變化對于f（x0）的百分比，故稱為平均相對變化率。

定義2.5：如果函數y=f（x）在點x0處可導，則稱極限值為y=f（x）在點x0處的點彈性，記作，即。

當|€L唜|很小時，。

定義2.6：如果函數y=f（x）在某區間可導，則稱為y=f（x）在該區間內的點彈性函數，簡稱彈性函數。

函數的彈性表示的是變量相對變量變化的反應程度或靈敏度。在經濟問題中，經常需要在不同產品之間進行比較，而這些產品使用的計量單位不同。由彈性定義可知，函數彈性是一個無量綱的常數，使用起來可以不受計量單位的限制，這使彈性概念在經濟學中得到了廣泛的應用。

（作者單位：湖北襄陽職業技術學院公共課部）